Метод рационализации - один из самых мощных методов для превращения страшных и ужасных неравенств в простое и детское "2+2=4".
Его название вполне говорит за себя: сделай неравенство рациональным - комфортным.
Метод основывается на равносильна преобразовании некоторых выражений в более простые, однако он работает ТОЛЬКО на ОДЗ и
ТОЛЬКО в неравенствах.
Рационализация логарифмов
Для логарифмов существует такой равносильный переход:
Никогда не стоит забывать про то, что основание и выражение под логарифмом не может быть отрицательным. В первую очередь всегда пишите сначала ОДЗ,а уже потом колдуйте.
Первая скобка после преобразования - "проверка" на то, больше единицы основание или нет. Если меньше, то знак меняется из-за "-", а иначе нет. Если вместо какого-то числа в основании стоит выражение, то оно подчиняется тому же правилу. Вторая скобка - выражение, которое можно получить решая стандартными способами.
А что если после первого логарифма стоит 1 или 0?
Тогда замените этот 0 или 1 на log_a(1) и log_a(0) и дальше действуйте по методу.
Еще один переход
Чуть сложнее первого, но смысл остается такой же.
Преобразование степенных функций
Для всеми любимых степеней так-же есть упрощения:
Весь смысл остается таким же, как и при логарифме, только есть ограничение, что h>0
Второй тип:
И также f>0, g>0
Модули
Одни из самых ненавистных вещей каждого школьника. Однако и тут метод рационализации может помочь:
Тут уже все просто, сразу рассматриваются оба случая, так как нам важны только знаки и нули неравенства.
Советы
Не стоит забывать, что методом можно пользоваться только в случаях, когда выражения из формул не являются частью многочлена:
log_a(f)-log_a(g)-1 тут нельзя применить этот метод.
Для тренировки можно воспользоваться таким прекрасным сайтом как mathus.ru, в разделе математика ищите "метод рационализации", скачиваете и тренируетесь.
Спасибо за чтение
А на этом у меня все, удачи с подготовкой к математике и хорошей продуктивности!