В прошлой части мы рассмотрели особенности этого задания в работе с квадратом, прямоугольником, параллелограммом и треугольником общего вида.
В этой части завершим разбор 18 задания ОГЭ и разберём равнобедренный, прямоугольный треугольники, трапецию и круг.
1. Трапеция.
- Площадь трапеции вычисляется как полусумма оснований, умноженная на высоту/ либо как произведение средней линии и высоты, что по сути одно и то же, так как средняя линия трапеции вычисляется как полусумма оснований.
- Другие тонкости разберём сразу на примере задач.
1.1 Высота через угол.
- Для вычисления площади трапеции у нас уже известны два основания в условии. Остаётся найти высоту. Посмотрим на оставшиеся данные. Известны сторона и тангенс угла между ней и основанием.
- (Лучше отмечать всё сразу на схеме, чтобы было нагляднее) Видим, что можно опустить высоту из точки В на нижнее основание, при этом получив прямоугольный треугольник.
- В треугольнике АВМ нам известна гипотенуза и отношение катетов (по тангенсу). Значит, даём некие коэффициенты "х" этому отношению и составляем уравнение по теореме Пифагора. Оттуда узнаём "х".
- Получаем, что высота трапеции равна 2, и мы можем легко найти площадь трапеции.
1.2 Площадь равнобедренной через все стороны.
- На первый взгляд не совсем понятно с чего начинать. Но опять же смотрим на то, что нам известно. Мы знаем длины обоих оснований. Остаётся найти высоту.
- Для этого проводим две высоты из вершин "B" и "C". Замечаем то, что четырёхугольник ВСМN является прямоугольником. А значит MN равно 5, также как и верхнее основание.
- AM=ND из равенства треугольников (По двум сторонам и углу). Они равны (17-5)/2=6.
- Рассмотрим треугольник ABM. Известны две стороны треугольника, по теореме Пифагора найдём высоту трапеции.
- И, зная высоту и два основания, узнаём площадь.
1.3 Площадь части трапеции.
- Первостепенно проведём высоту. Обозначим за "h" высоту меньшей трапеции, тогда высота большой будет "2h" (Средняя линия).
- Нетрудно посчитать, что средняя линия будет равна 3,5.
- Тогда запишем уравнение площади для большой трапеции (оранжевым). Откуда найдём, что высота малой трапеции равна 4.
- Тогда посчитаем площадь меньшей трапеции, зная её высоту и основания.
2. Прямоугольный треугольник.
- Для прямоугольного треугольника отличительной особенностью является то, что его площадь равна полу произведению катетов (Так как катеты являются высотой и основанием аналогично друг для друга).
2.1 Вычисление катетов.
- Так как прямоугольный треугольник имеет один угол в 90 ° , второй угол в 45 ° , значит третий угол будет также 45 ° . Значит треугольник равнобедренный.
- Катеты равны. Можно посчитать площадь по приведённой на изображении формуле.
3. Равнобедренный треугольник.
- В задачах с равнобедренным треугольником для вычисления площади обычно опираются на равенство сторон и поиск через них высоты треугольника.
3.1 Неизвестная высота.
- Проводим высоту из вершины треугольника. Эта высота ещё и медиана, и биссектриса, так как треугольник равнобедренный.
- Рассматриваем треугольник ВСМ. Угол МВС равен 60 ° (по вышесказанному), значит угол ВСМ равен 30 ° .
- Против угла в 30 ° в прямоугольном треугольнике лежит катет, равный половине гипотенузы. То есть, 5. По теореме Пифагора находим MC, что является половиной основания.
- Далее вычисляем всё основание и площадь. Не забываем, что ответ должен соответствовать условию задачи.
4. Круг.
- Площадь круга, как всем известно, вычисляется по формуле π R^2.
- Также можно вычислить площадь кругового сектора. Это рассмотрим на примере задачи.
4.1 Круговой сектор.
- Для начала нам нужно узнать радиус окружности и сектора, соответственно. Для этого берём уравнение длины дуги и подставляем туда все известные значения. Выражаем радиус и находим его. (1)
- Затем записываем уравнение площади сектора (2) и вычисляем.
- Не забываем, что для записи в ответ есть условие.\
Спасибо за прочтение статьи. Если вы нашли ошибку, остались вопросы или у вас есть задача данного типа, которую вы не можете решить. пишите в комментарии. постараемся дать развёрнутый ответ.
Пожалуйста, оцените статью лайком, если она была понятной и полезной.
Первая часть разбора 18го задания доступна по ссылке.
Все примеры задач взяты с официального сайта для подготовки к ОГЭ "Сдам ГИА".