ОГЭ 2020 (Математика) Задание 18(2). Площади фигур.

В прошлой части мы рассмотрели особенности этого задания в работе с квадратом, прямоугольником, параллелограммом и треугольником общего вида.

В этой части завершим разбор 18 задания ОГЭ и разберём равнобедренный, прямоугольный треугольники, трапецию и круг.

1. Трапеция.

• Площадь трапеции вычисляется как полусумма оснований, умноженная на высоту/ либо как произведение средней линии и высоты, что по сути одно и то же, так как средняя линия трапеции вычисляется как полусумма оснований.
• Другие тонкости разберём сразу на примере задач.

1.1 Высота через угол.

• Для вычисления площади трапеции у нас уже известны два основания в условии. Остаётся найти высоту. Посмотрим на оставшиеся данные. Известны сторона и тангенс угла между ней и основанием.
• (Лучше отмечать всё сразу на схеме, чтобы было нагляднее) Видим, что можно опустить высоту из точки В на нижнее основание, при этом получив прямоугольный треугольник.
• В треугольнике АВМ нам известна гипотенуза и отношение катетов (по тангенсу). Значит, даём некие коэффициенты "х" этому отношению и составляем уравнение по теореме Пифагора. Оттуда узнаём "х".
• Получаем, что высота трапеции равна 2, и мы можем легко найти площадь трапеции.

1.2 Площадь равнобедренной через все стороны.

• На первый взгляд не совсем понятно с чего начинать. Но опять же смотрим на то, что нам известно. Мы знаем длины обоих оснований. Остаётся найти высоту.
• Для этого проводим две высоты из вершин "B" и "C". Замечаем то, что четырёхугольник ВСМN является прямоугольником. А значит MN равно 5, также как и верхнее основание.
• AM=ND из равенства треугольников (По двум сторонам и углу). Они равны (17-5)/2=6.
• Рассмотрим треугольник ABM. Известны две стороны треугольника, по теореме Пифагора найдём высоту трапеции.
• И, зная высоту и два основания, узнаём площадь.

1.3 Площадь части трапеции.

• Первостепенно проведём высоту. Обозначим за "h" высоту меньшей трапеции, тогда высота большой будет "2h" (Средняя линия).
• Нетрудно посчитать, что средняя линия будет равна 3,5.
• Тогда запишем уравнение площади для большой трапеции (оранжевым). Откуда найдём, что высота малой трапеции равна 4.
• Тогда посчитаем площадь меньшей трапеции, зная её высоту и основания.

2. Прямоугольный треугольник.

• Для прямоугольного треугольника отличительной особенностью является то, что его площадь равна полу произведению катетов (Так как катеты являются высотой и основанием аналогично друг для друга).

2.1 Вычисление катетов.

• Так как прямоугольный треугольник имеет один угол в 90 ° , второй угол в 45 ° , значит третий угол будет также 45 ° . Значит треугольник равнобедренный.
• Катеты равны. Можно посчитать площадь по приведённой на изображении формуле.

3. Равнобедренный треугольник.

• В задачах с равнобедренным треугольником для вычисления площади обычно опираются на равенство сторон и поиск через них высоты треугольника.

3.1 Неизвестная высота.

• Проводим высоту из вершины треугольника. Эта высота ещё и медиана, и биссектриса, так как треугольник равнобедренный.
• Рассматриваем треугольник ВСМ. Угол МВС равен 60 ° (по вышесказанному), значит угол ВСМ равен 30 ° .
• Против угла в 30 ° в прямоугольном треугольнике лежит катет, равный половине гипотенузы. То есть, 5. По теореме Пифагора находим MC, что является половиной основания.
• Далее вычисляем всё основание и площадь. Не забываем, что ответ должен соответствовать условию задачи.

4. Круг.

• Площадь круга, как всем известно, вычисляется по формуле π R^2.
• Также можно вычислить площадь кругового сектора. Это рассмотрим на примере задачи.

4.1 Круговой сектор.

• Для начала нам нужно узнать радиус окружности и сектора, соответственно. Для этого берём уравнение длины дуги и подставляем туда все известные значения. Выражаем радиус и находим его. (1)
• Затем записываем уравнение площади сектора (2) и вычисляем.
• Не забываем, что для записи в ответ есть условие.\

Спасибо за прочтение статьи. Если вы нашли ошибку, остались вопросы или у вас есть задача данного типа, которую вы не можете решить. пишите в комментарии. постараемся дать развёрнутый ответ.

Пожалуйста, оцените статью лайком, если она была понятной и полезной.

Первая часть разбора 18го задания доступна по ссылке.

Все примеры задач взяты с официального сайта для подготовки к ОГЭ "Сдам ГИА".