ОГЭ 2020 (Математика) Задание 18(1). Площади фигур.

Само задание является не столь сложным. Можно сказать, это специализированное задание 16 с упором в площади фигур. В этой статье будем рассматривать основы решения и примеры задач, в которых легче допустить ошибку.

Это первая часть разбора данного задания. В ней будут рассмотрены квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб и треугольник общего вида. Окружность, трапецию, равнобедренный и равносторонний треугольники рассмотрим во второй части разбора.

Разбор задания 16, первую и вторую часть, также можете найти на этом канале.

1. Квадрат.

• Площадь квадрата вычисляется как квадрат его стороны, либо как полу произведение его диагоналей (по свойству ромба). Тут всё просто, однако задания могут требовать для начала нахождения стороны/диагонали или вычисления не совсем стандартной площади.

1.1 Через радиус вписанной.

• Несложно заметить, что диаметр вписанной окружности будет равен длине стороны квадрата (диаметр описанной будет равен диагонали квадрата).
• Находим диаметр, как два радиуса, и возводим в квадрат. Получаем площадь.

1.2 С вырезанной фигурой внутри.

• Для начала стоит найти площадь всего квадрата без вырезанной области.
• Затем находим площадь вырезанной области (прямоугольника), как произведение смежных сторон.
• И затем площадь закрашенной области как раз складывается из разности площади квадрата и прямоугольника , вырезанного из него.

2. Прямоугольник.

• Площадь треугольника находится как произведение смежных сторон. Однако в большей части заданий вам придется сначала найти эти стороны.

2.1 Через периметр.

• Работаем с известными данными. Периметр - это сумма всех сторон прямоугольника (в нашем случае).
• Обозначаем меньшую сторону прямоугольника за "х", значит большая будет равна "х+2". Отсюда периметр треугольника вычисляется по формуле на картинке.
• Из уравнения периметра можно найти "х", то есть меньшую сторону. Затем легко находим большую и вычисляем площадь прямоугольника.

2.2 Через диагональ прямоугольника.

• Зная диагональ и сторону прямоугольника мы можем найти вторую сторону через прямоугольный треугольник по теореме Пифагора.
• Далее просто перемножаем одну сторону на другую, находя площадь, и получаем ответ.

3. Параллелограмм и ромб.

• Площадь параллелограмма можно вычислить тремя способами
• 1. Как произведение высоты на сторону
• 2. Как произведение двух сторон на синус угла между ними.
• 3. Как полу произведение двух диагоналей на синус угла между диагоналями.

• Скорее всего, третья формула не понадобится в решении 18го задания, но лишней она не будет.
• Для ромба всё тоже самое с некоторым упрощением для третьей формулы, ввиду прямого угла между диагоналями. (Для ромба эта формула будет встречаться чаще всего) В итоге, синус равен 1 и его можно будет убрать из формулы для ромба.
• Думаю, что вычисление диагоналей или сторон ромба по теореме Пифагора не вызывает много проблем, поэтому рассмотрим сразу более сложные задачи.

3.1 Тангенс угла.

• Здесь у параллелограмма даны две смежных стороны и тангенс угла между ними. Всё сводится ко второй, рассмотренной выше формуле. А сама задача требует нахождения синуса угла через известный тангенс.
• Так и поступаем. Тангенс это отношение синуса к косинусу. Получаем уравнение отношения синуса к косинусу, как отношение чисел.
• Из этого уравнения выражаем синус. У нас до сих пор две неизвестных, что для одного уравнения плачевно. Вспоминаем основное тригонометрическое тождество (Выделено красным), чтобы выразить синус через косинус.
• Возводим наше уравнение в квадрат. Выражаем синус и начинаем упрощать уравнение (Думаю, процесс вполне понятен).
• Синус берём положительным, так как рассматриваем для угла меньше 180 ° .
• И далее остаётся посчитать площадь.

3.2 Медиана угла.

• Знаем, что диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому (ACD)=(ACB).
• Также знаем, что медиана треугольника делит его на два равновеликих (С одинаковыми площадями). Соответственно, треугольник AED составляет половину от половины параллелограмма. Или его 4ую часть.
• Трапеция (AECB) тогда составляет 3/4 части параллелограмма. Вычисляем это.

4. Треугольник общего вида.

• Площадь треугольника можно считать через радиус вписанной окружности, описанной окружности, также по формуле Герона и т.д.
• Однако, в данном случае достаточно будет формулы S=0,5ah, где "h"-высота к стороне "a" треугольника и формулы S=0,5ab*sin(ab). Где sin(ab) - синус угла между сторонами треугольника.

4.1 Синус угла.

• Как раз применяем формулу с синусом, зная угол между двумя известными сторонами треугольника.
• Вычисляем, получаем ответ.

4.2 Разница площадей.

• В данном задании важно вычислить отношение площадей изначального треугольника и треугольника с основанием в виде средней линии изначального треугольника.
• Теперь допустим, что мы находим площадь треугольника как полу произведение стороны треугольника на высоту, проведённую к ней. Высота и сторона у большого треугольника в два раза больше, чем у малого, значит этот треугольник имеет площадь в 4 раза больше.
• Остаётся только посчитать ответ.

Спасибо за прочтение статьи. Если вы нашли ошибку, остались вопросы или у вас есть задача данного типа, которую вы не можете решить, напишите в комментарии. Постараемся дать развёрнутый ответ.

Пожалуйста, оцените публикацию лайком, если она была понятной и полезной.

Все примеры задач взяты с официального сайта для подготовки к ОГЭ "Сдам ГИА".