О чём же будет вестись речь в этой статье, спросите Вы? Неужели снова скучные математические выкладки, тонны понятий, непонятные леммы или теоремы. Кстати, а Вы знали что такое лемма? Бьюсь об заклад, что многие из Вас даже как-то не задумывались, в чём разница между леммой и теоремой? Но данная статья не об этом. А статья как раз раскрывает сущность тех самых непонятных математических терминов и понятий. По сути вся математика зиждется в первую очередь на каких-то договорённостях или условностях, которые помогают нам описать реальные физические процессы, помогают построить ту самую модель, которая естественно не являются самой сутью природы, но является вспомогательным инструментом, или объектом, который в той или иной степени приближения описывает суть вещей.
Итак, в этой статье мы поговорим о важных (на мой взгляд) символах, часто употребляемых математиками, чтобы описать многие физические процессы. А именно, символ Кронекера и символ Леви-Чивита. На самом деле интересных символов гораздо больше в мире математики, но это рассказ другой статьи, и пожалуй не одной.
Символ Кронекера
Это такой объект, у которого все элементы, для которых i не равно k, равны нулю, а для которых i = k, равны единице. Напишем это определение следующим образом:
Развёрнутой записью любого объекта называют запись в виде матрицы, у которого видно каждый элементы, причём одной записью. Перепишем таким образом символ Кронекера в развернутом виде (согласно определению):
Из развёрнутой записи видно, что символ Кронекера это по сути единичная матрица. В физике симметрии например такое преобразование называют тождественным, то есть это такое действие которое не изменяет любой вектор в линейном векторном пространстве (ни поворачивает, ни изменяет длину векторы и так далее).
Как Вы уже заметили, первый индекс i в символе Кронекера ни что иное как номер строки матрицы, а индекс k - это номер столбца. Так принято в индексной алгебре.
Теперь рассмотрим некоторые свойства символа Кронекера, которые помогут нам раскрыть сущность этого символа. Но прежде всего дадим ещё парочку скучных определений, но обещаю, затратив немного времени на изучение этих определений, потом Вам это окупится в виде целого мира замечательных математических свойств, и это связано не только с символом Кронекера, а вообще во всей математике, потому что следующее определение является общим для линейной алгебры, и тензорного анализа в частности.
Симметричным объектом называют такой объект, у которого:
Это означает, что если транспонировать матрицу этого объекта (то есть поменять местами строки и столбцы), то элементы попарно будут равны друг другу. Например элемент находящийся в первой строке и втором столбце будет равен элементу, находящемуся во второй строке и первом столбце. Или другими словами, если говорить в терминах индексной алгебры, меняя местами индексы у главной буквы объекта, элементы от этого не меняются и попарно равны друг другу.
Соответственно, антисимметричным объектом называют объект, у которого:
То есть величина элемента та же самая , но знак противоположный. Между прочим определения выше касаются объектов с порядком выше двух (количество индексов). Например антисимметричным объектом третьего порядка по двум индексам называют объект, у которого:
Видите, здесь местами мы поменяли лишь первые два индекса i и k, а индекс l остался на месте. Для объектов ещё более высшего порядка определение остаётся справедливым.
Вы уже наверное догадались, что подразумевается под термином объект, так как я нигде до сих пор не давал определение этой сущности. Объект это очень универсальное понятие, чем Вы можете себе представить. Даже группу, как специфическое множество с определёнными свойствами можно смело назвать объектом, потому что группы состоят из конечного или бесконечного набора элементов. То есть объект по сути набор элементов, например если представить себе компот как рассматриваемый объект, то элементами могут выступать, например, изюм, персик и яблоко, из которых сварили компот.
Ещё необходимо перед свойствами символа Кронекера дать архиважное определение, такое как свёртка. Это определение ввёл в своё время Эйнштейн (ещё свёртку называют условие о суммировании) и послужило революцией в дальнейшем развитии всего тензорного анализа. Если у главной буквы объекта есть два одинаковых скользящих индекса (то есть индекс повторяется, то такой индекс называют немым. Наличие немого индекса означает суммирование по всем измерениям объекта, как правило в трёхмерном измерении от 1 до 3. Результат этой операции или саму операцию называют свёрткой, то есть согласно определению свёртка записывается следующим образом:
Где N - число измерений данного объекта. Каждая свёртка, как видно из записи, уменьшает число измерений на две единицы. Существуют свёртки и по более чем двум немым индексам, но мы всегда будем подразумевать свёртку в смысле Эйнштейна, то есть по двум немым индексам.
Свойства символа Кронекера:
1. Символ Кронекера является симметричным объектом. Действительно, если транспонировать матрицу символа Кронекера, то символ Кронекера от этого не поменяется (его развёрнутая запись), стало быть символ Кронекера симметричен.
2. Свёртка символа Кронекера есть:
Действительно, сумма элементов у которых имеются немые индексы, это элементы диагонали матрицы символа Кронекера. Все диагональные элементы равны по определению единице, стало быть для трёхмерного символа Кронекера свёртка равна 3. Если символ Кронекера измерения N, то и свёртка его равна N.
3. Образуем следующий объект четвёртого порядка (не путайте порядок и измерение объекта) из символов Кронекера:
Здесь мы приравняли индексы k = p = s, то есть сделав два индекса у символов Кронекера немыми, мы выполнили операцию свёртки, в итоге получили символ Кронекера второго порядка.
Символ Леви-Чивита
Его элементы равны нулю, если хотя бы два индекса одинаковы. Остальные элементы определяются так: элемент
считается равным +1; далее все элементы, имеющую комбинацию индексов, получаемую из 1 2 3 чётной перестановкой, равны +1, а получаемые нечётной перестановкой, равны -1. Развёрнутая запись выглядит следующим образом:
Этот объект является абсолютно антисимметричным - то есть это такой объект, который антисимметричен по любой паре индексов. Ещё раз перечитайте определение символа Леви-Чивита и перепроверьте, точно ли он абсолютно антисимметричный объект, что несомненно так.
Исследуем объект шестого порядка
Доказывается что тогда мы имеем следующее важное тождество:
Проверим это тождество. Всякий раз когда слева два или три индекса из групп ikl или pqr равны между собой, слева будет нуль. Это соответствует тому, что справа будут две (три) равных строки или два (три) равных столбца, т.е. тоже нуль (вспомните правило определителей из теории матриц).
Далее возьмём следующие комбинации индексов:
В этом случае имеем:
Каждая чётная перестановка индексов каждой группы не меняет знака обеих частей, а нечётная перестановка меняет знак на обратный. Отсюда мы полностью убедились, что тождество 1 абсолютно верно.
Найдём свёртки тождества 1, очевидно мы имеем:
Сделаем нечётную перестановку немого индекса, имеем:
Из двух последних выкладок мы видим, что свёртка есть объект четвёртого порядка, равный алгебраическому дополнению элемента
в детерминанте тождества 1.
Нетрудно найти дальнейшие свёртки, получаем:
Примеры применения символов
По сути мы рассмотрели всё что касается этих двух символов в математике. Дальнейшее рассмотрение - это то или иное их применение. На самом деле они настолько универсальны, что полное исследования их в прикладных науках не видится возможным. "Прямое назначение" этих символов, если можно так выразится, наверное в теории гравитации. Хотя мне лично приходилось сталкиваться тесно с тензорным анализом (а соответственно с этими двумя символами) в аналитической механике, а стало быть и в квантовой механике. Полное описание применения в прикладных науках выходит за рамки данной статьи, здесь же мы покажем несколько примеров.
Замена индекса. Пожалуй, самой универсальной операцией с применением символа Кронекера является замена индекса. Как мы уже упоминали выше, очевидным свойством символа Кронекера является то, что матрица символа Кронекера является тождественной операцией. Например, вспомним из линейной алгебры уравнение преобразования координат векторов:
Если здесь заменить матрицу преобразования на символ Кронекера, то преобразование будет тождественным, то есть мы можем записать:
Отсюда сразу же следует, что
Таким образом, мы как бы поменяли у x индекс, с индекса i, на индекс k, действуя на этот объект символом Кронекера.
Пример ниже Вы можете полностью пропустить, если Вы далеки от теории групп и представлений групп.
В физике симметрии например есть две так называемые теоремы Шура:
1) Если T(a) и T(b) эквивалентные представления группы, то по первой теореме Шура оператор A равен:
где 1 - тождественный оператор (существует отдельно операторный мат. аппарат по большей части применяемый в квантовой механике).
2) Если T(a) и T(b) неэквивалентные представления группы, то по второй теореме Шура оператор A = 0.
Эти две теоремы Шура можно объединить в одну запись, если взять за основной оператор символ Кронекера, следующим образом:
То есть если представления одно и тоже, то значения дельта Кронекера равно 1, и тогда мы получаем первую теорему Шура. Иначе если представления неэквивалентные ( и неприводимые) , то оператор Кронекера равен нулю, и соответственно получаем вторую теорему Шура.
Дуальные объекты. Два объекта:
называются дуальными друг другу, а построение по одному из таких объектов другого - дуализацией объектов.
Оказывается дуальные объекты связаны соотношением:
Действительно, если i = k = 1, то a11 = 0, если i = 1, k = 2, то единственный отличный от нуля элемент получится при l = 3.
Обратное соотношение будет:
Давайте легко докажем это соотношение следующим образом:
Фундаментальный объект. Ассоциированные объекты. В качестве ещё одного примера рассмотрим фундаментальный объект. Мы до сих пор записывали все объекты с нижними индексами. На самом деле мир сложнее и интереснее. Существует ещё два вида представления объектов, с верхними индексами и смешанного типа. Например один и тот же геометрический или физический объект может быть записан как
В тензорном анализе объекты записанные с нижними индексами называют ковариантными объектами, с верхними индексами - контравариантными. И наконец , если объект имеет как нижние, так и верхние индексы - это объекты смешанного типа.
Между этими объектами должна быть какая-то связь, так как мы договорились изначально, что это один и тот же геометрический или физический объект, просто представлены по разному. Условимся что эта зависимость линейная, однородна и осуществляется помощью объекта второго порядка:
Этот объект называют фундаментальным объектом. Предполагается, что фундаментальный объект симметричный. С помощью этого объекта можно переходить от объекта с нижними индексами, к объектам с верхними индексами и наоборот. Покажем несколько примеров:
Все объекты, которые подвергаются действию фундаментального объекта и при этом меняют своё представление, называют ассоциированными относительно фундаментального объекта.
Раз существуют объекты с верхними индексами, как и с нижними, то логично предположить, что и фундаментальный объект с верхними индексами тоже существует. Дадим определение такого фундаментального объекта:
То есть, фундаментальный объект с верхними индексами есть объект обратный фундаментальному объекту с нижними индексами. Точно также такие объекты поднимают индексы (как опускает индексы фундаментальный объект с нижними индексами). Такие операции иногда называют жонглированием индексами.
Использованная литература
1) Г.В. Коренев "Тензорное исчисление", Москва, Издательство МФТИ, 2000 г.
2) Дж.Эллиот, П.Добер "Симметрия в физике", т.1