Зачастую в школьном курсе геометрии изучению окружностей, кругов и их свойств уделяют не так много внимания. Возможно поэтому у экзаменуемых задание 17 вызывает определённые трудности. Давайте разберёмся, что нужно учесть при его выполнении.
1. Особенности углов в окружности.
- В окружности можно выделить вписанные и центральные углы.
- Дуги окружности, как и углы имеют величину в градусах. И градусная мера окружности равна 360 ° .
- Вписанный угол (АСВ) опирается на дугу окружности и равен половине её градусной меры. То есть, если дуга окружности равна 30 ° , то вписанный угол, опирающийся на неё, равен 15 ° .
- Центральный же угол (АОВ) равен дуге окружности, на которую он опирается. Таким образом мы можем понять, что вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу окружности.
- Также стоит напомнить, что центральный угол, опирающийся на хорду окружности равную радиусу этой окружности имеет градусную меру в 60 ° (вписанный 30 ° ).
- Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности имеет градусную меру в 90 ° .
1.1 Описанные около окружности.
- Главной особенностью угла, описанного около окружности является то, что отрезки сторон угла до пересечения с окружностью равны.
- А также стороны угла являются касательными к окружности, что логично. И радиус к точке пересечения касательной к окружности перпендикулярен касательной.
2. Многоугольники вписанные в окружность.
- Ранее мы уже затрагивали эту тему, когда говорили о 16 задании. Вспомним, что нам может пригодиться.
- Любой треугольник можно вписать в окружность, также как и окружность можно вписать в любой треугольник.
- Четырёхугольник можно вписать в окружность, если его противоположные углы в сумме дают 180 ° . Вписать же в четырёхугольник окружность можно, если суммы противоположных сторон четырёхугольника равны.
- Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность и описать вокруг окружности.
3. Практическая часть.
- Теперь рассмотрим примеры задач на описанные правила.
- Мы помним, что окружность имеет градусную меру в 360 ° . И дуги, составляющие её относятся как 9:11. Соответственно складываем эти значения и получаем одну часть отношения в 18 ° , как на картинке. В итоге получаем в ответе 162 ° .
- Здесь вспоминаем про связь вписанных углов и дуг, на которые они опираются.
- Помним, что диаметр делит окружность на дуги по 180 ° .
- Видим, что искомый угол и известный (вписанные) описаются на дуги, которые как раз составляют 180 ° . Находим длину дуги из известного угла.
- Затем находим вторую дугу и угол, который нам нужен.
- Первым делом строим радиус из центра окружности до точки пересечения с касательной к ней. Угол АВО будет прямым (по рассмотренным свойствам) и мы получим прямоугольный треугольник откуда по теореме Пифагора легко найдём радиус окружности.
- В данном случае мы можем заметить, что дугу, на которую опирается больший известный угол составляют две дуги, на которые опираются меньший известный угол и искомый угол. (Они все вписанные).
- Можно было бы разбирать эту задачу через дуги, но мы понимаем, что раз две дуги составляют третью, то и соответствующие два угла будут составлять третий. Поэтому в одно действие находим неизвестный угол.
Спасибо за прочтение статьи. Если вы нашли ошибку, остались вопросы или у вас есть задачи на данную тему, которые вы не можете решить, напишите в комментарии.
Пожалуйста, оцените статью лайком, если материал был понятен и полезен.
Все примеры задач взяты с официального сайта для подготовки к ОГЭ "Сдам ГИА".