Иногда бывают задачи, решение которых укладывается в "считал, вывел", давайте рассмотрим одну из таких.
Задача на геометрию, и, по классике, необходимо проверить пересекаются ли фигуры (в данном случае окружности).
Давайте нарисуем и посмотрим, что же получается:
Итак, если есть точка пересечения двух окружностей, то мы можем построить треугольник, соединив её с центрами этих окружностей. И сторонами этого треугольника будут два радиуса окружностей и расстояние между центрами (L). Если точки пересечения нет, тогда такой треугольник построить нельзя. И действительно, по правилу треугольника получается, что L больше суммы радиусов.
Расстояние между центрами, зная их координаты, легко найти с помощью теоремы Пифагора. Тогда получается такое условие:
В очередной раз напомню, что можно (и нужно) обе части этого неравенства возвести в квадрат и избавиться от работы с вещественными числами.
Кажется, что всё, но почему же тогда так много ошибок в решении этой задачи? Оказывается, что необязательно L будет самой большой стороной треугольника, и надо проверить две других, чтобы они не превышали половины периметра треугольника. Это соответствует рисунку, когда центр одной окружности расположен внутри другой.
На рисунке слева R1 больше суммы L и R2, и треугольник построить нельзя, поэтому нет точки пересечения окружностей. А на рисунке справа правило треугольника снова выполняется. Аналогичные рассуждения можно провести и для второй окружности. Тогда получим ещё два неравенства:
Однако можно заметить, что если в правой части оставить только корень, а потом обе части возвести в квадрат, то получим одинаковые неравенства. Таким образом, мы не только избавляемся от работы с вещественными числами, но и сокращаем количество условий, требующих проверки.
И тогда полное решение задачи будет по формуле "считал, вывел":
Предыдущий выпуск: Задача 224. Наибольшее произведение
Я очень хочу, чтобы мои советы были полезны вам, а для того, чтобы быстрее всех получать новые статьи можно подписаться на мой канал.