Условие: Известно, что около четырехугольника можно описать окружность и продолжение сторон AD и BC четырехугольника пересекаются в точке К. Доказать, что треугольники KAB и KCD подобны. Решение: ABCD - четырехугольник вписанный в окружность (рис.1). Сумма противоположных углов в четырёхугольнике равна 180°. ∠BAD + ∠BCD = ∠ABС + ∠ADC = 180°. 1. ∠KDC =180° − ∠ADC, так как смежные углы. ∠ABС = 180°- ∠ADC . Значит ∠ABС = ∠KDC. 2. ∠KCD = 180° − ∠ BCD, так как смежные углы. ∠BAD = 180° - ∠BCD. Значит ∠BAD = ∠KCD. Так как в треугольниках ABK и CDK равны соответствующие углы (∠ABС = ∠KDC, ∠BAD = ∠KCD), то ∆ABK подобен ∆CDK.
Условие: Известно, что около четырехугольника можно описать окружность и продолжение сторон AD и BC четырехугольника пересекаются в точке К. Доказать, что треугольники KAB и KCD подобны.
Решение: ABCD - четырехугольник вписанный в окружность (рис.1).
Сумма противоположных углов в четырёхугольнике равна 180°.
∠BAD + ∠BCD = ∠ABС + ∠ADC = 180°.
1. ∠KDC =180° − ∠ADC, так как смежные углы.
∠ABС = 180°- ∠ADC . Значит ∠ABС = ∠KDC.
2. ∠KCD = 180° − ∠ BCD, так как смежные углы.
∠BAD = 180° - ∠BCD. Значит ∠BAD = ∠KCD.
Так как в треугольниках ABK и CDK равны соответствующие углы (∠ABС = ∠KDC, ∠BAD = ∠KCD), то ∆ABK подобен ∆CDK.