Условие:
Десять точек бросают независимо друг от друга на отрезок [0, 1]. Найти вероятность того, что не менее трех из них попадут на отрезок [0.25, 0.5].
Данная задача взята из открытого источника http://old.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tests/k1tv-ef19.pdf. ЭФ НГУ, экономика, первая потоковая контрольная работа по теории вероятностей 2019 г.
Решение:
Очень хитро в данной задаче спрятана схема Бернулли. Заметим, что в данном эксперименте проводится 10 независимых испытаний с одинаковой вероятностью успеха (в данном случае это вероятность попадания в отрезок [0.25, 0.5] и она неизменна).
Как вычислить вероятность успеха? С помощью определения геометрической вероятности:
В нашем случае в качестве меры выступает длина, а значит вероятность попадания в отрезок [0.25, 0.5] равна 0.25.
Теперь запишем искомую вероятность:
P(не менее трех попадут в отрезок [0.25, 0.5]) = P(3 попадет или 4 попадет или 5 попадет или 6 попадет или 7 попадет или 8 попадет или 9 попадет или 10 попадет)
Можно искать эту вероятность в лоб, но тогда придется выписывать 8 слагаемых и отдельно считать каждое. Чтобы упростить себе задачу перейдем к обратному событию.
Обратным к {не менее трех попадут в отрезок [0.25, 0.5]} будет событие {менее трех попадут в отрезок [0.25, 0.5]}.
P(менее трех попадут в отрезок [0.25, 0.5]) = P(0 попадет или 1 попадет или 2 попадет). Такую вероятность уже гораздо проще посчитать.
В данном случае мы имеем дело с вероятностью объединения и события {0 попадет}, {1 попадет}, {2 попадет} несовместны (не могут произойти одновременно), а значит мы можем перейти к сумме вероятностей:
P(0 попадет или 1 попадет или 2 попадет) = P(0 попадет) + P(1 попадет) + P(2 попадет).
Воспользуемся формулой Бернулли:
P(0 попадет или 1 попадет или 2 попадет) = 0.52559280393
Вероятность обратного события найдена, теперь можно найти вероятность исходного события, отняв от единицы вероятность обратного.
P(не менее трех попадут в отрезок [0.25, 0.5]) = 1 - 0.52559280393 = 0.47440719607
Читайте также другие статьи посвященные данной тематике. https://zen.yandex.ru/id/5e57a99a23af6e788c224cd8