Продолжаю серию математических статей. Сегодня хочу рассказать о "Задачах тысячелетия" – самых важных (по мнению института Клэя) задачах математики, решение которых не найдено в течение уже многих лет (Спойлер: кое-что уже решили).
Целью математический институт Клэя является увеличение и распространение математических знаний. С этой целью институт выдаёт различные награды и спонсирует многообещающих математиков. Пожалуй, самый известный их проект – список "Задач тысячелетия", за решение каждой из которого институт готов предоставить премию в размере $1.000.000.
Что же ученые включили в этот список? Ровно 7 задач:
1. Доказательство гипотезы Пуанкаре
Начну с неё, потому что, во-первых, это единственная решенная проблема, а, во-вторых, про неё я уже писала и подробно почитать можно здесь. В этой статье я не буду подробно останавливаться на этой задаче.
2. Равенство классов P и NP
После гипотезы Пуанкаре, это, наверное, самая известная задача. Речь идет о времени вычисления различных задач.
Для примера рассмотрим задачу о вычислении степени двойки (это очень грубое упрощение). Допустим, мы можем умножить любое число на 2 за время t. Тогда мы сможем возвести 2 в степень n за время = t*(n-1), просто последовательно умножая на двойку. Выражение t*(n-1) находится в линейной зависимости от начальных данных (числа n), поэтому эту задачу можно решить за линейное время. А если задачу можно решить за полиномиальное время (т.е. время решения представляет собой многочлен от начальных данных), то говорят, что она лежит в классе P.
Класс NP очень похож на класс P, только речь идет не о решении задачи, а о том, чтобы проверить, является ли какой-то ответ её решением. И сделать это нужно тоже за полиномиальное время. Опять же, говоря грубо, не возвести 2 в степень n, а проверить, является ли какое-то число степенью двойки.
Если задача решается за полиномиальное время, считается, что это быстро. Поэтому эта задача важна: если можно быстро проверить ответ, значит точно существует быстрый алгоритм и для решения задачи.
3. Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса
Уравнения Навье — Стокса описывают движение вязкой ньютоновской жидкости и являются основой гидродинамики. Что такое ньютоновская жидкость? Это практически вся жидкость, которая нас окружает. Сложнее встретить жидкость неньютоновскую. Впрочем, ее легко можно приготовить, смешав стакан крахмала с полстаканом воды – эта субстанция при медленном помешивании будет по ощущениям жидкой, однако если по ней стукнуть, она поведет себя как твердое тело. Впрочем, лучше самим попробовать или посмотреть видео.
Я же отмечу важность этой задачи, потому что этими уравнениями можно описать многое: от смесей жидкостей до движения плазмы. А тут ещё и приз в миллион долларов за решение! Неудивительно, что с завидной регулярностью появляются ученые, утверждающие, что решили задачу. Впрочем, пока во всех из них удалось найти ошибку.