Наблюдение за природой

Виталий вёл дневник наблюдения за погодой. Оказалось, что в последний день наблюдений количество дождливых дней составляло n% прошедших с начала наблюдений, хотя на день раньше количество дождливых дней составляло (n-1)% от наблюдаемых дней к тому моменту (n - натуральное число). Какое наименьшее количество дней вёл дневник Виталий.

Задача была предложена на 55 Уральском турнире юных математиков, прошедшем в феврале 2020 года в Кирове.

Пусть Виталий наблюдал за погодой k дней. Тогда дождливых дней было k*n/100. А днём ранее дождливых дней было (k-1)*(n-1)/100. Первое выражение больше второго, а отличаются они на единицу (последний день, очевидно, тоже был дождливым).
Поэтому
kn/100-(k-1)(n-1)/100=1,
откуда n=101-k.

Выражение k(101-k) делится на 100, при этом k и 101-k взаимно просты.
Действительно, если у этих чисел есть общий делитель, то этот же делитель есть и у их суммы k+(101-k)=101. Но число 101 - простое. k меньше 101, поэтому общим делителем может быть только единица.

Значит, одно из чисел k и (101-k) делится на 25.
Это происходит при k=25, k=50, k=75, k=100, k=1, k=26, k=51, k=76. Но k=1 не удовлетворяет условию задачи. Минимальное из остальных чисел - 25.

При k=25 число 101-k=76 делится на 4. Поэтому k(101-k) делится на 25*4=100.

Значит, минимальное k - это 25.