Условие:
В соревнованиях участвуют 4 первокурсника, 5 второкурсников и 3 третьекурсника. Составляют наугад команду из 5 человек. Найти вероятность того, что в команду попадут два второкурсника и как минимум один студент 3-го курса.
Данная задача взята из открытого источника https://nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tests/k1tv-ef17.pdf . ЭФ НГУ, экономика, первая потоковая контрольная работа по теории вероятностей 2017 г.
Решение:
Для начала нужно определиться с количеством элементарных исходов. Сколько всего команд из 5 человек мы можем составить?
Пусть первокурсников зовут Иван, Дима, Антон и Игорь, а одного из второкурсников - Максим. Заметим, что команды (Иван, Дима, Антон, Игорь, Максим) и (Дима, Антон, Максим, Иван, Игорь) одинаковые, а значит порядок людей в командах нас не интересует. Также, нужно учесть, что в одну команду не может 5 раз наугад быть выбран, например, Дима, а значит мы рассматриваем эксперимент "без возвращения".
Объединяя два этих замечания, получаем, что мы должны считать количество элементарных исходов с помощью следующей урновой схемы: без возвращения и без учета порядка.
Теперь определимся с благоприятными для нас событиями. Исходя из условий задачи нам нужно обязательно иметь в команде 2 второкурсника и как минимум 1 третьекурсника, то есть третьекурсников может быть от 1 до 3: (2 второкурсника, 1 третьекурсник, 2 первокурсника), ( 2 второкурсника, 2 третьекурсника, 1 первокурсник), (2 второкурсника, 3 третьекурсника). Также необходимо добавить, что данные 3 события несовместны, то есть не могут произойти одновременно. А значит мы можем просто сложить вероятности данных событий, чтобы получить итоговый ответ.
Пусть событие A = {2 второкурсника, 1 третьекурсник, 2 первокурсника}. Общее число благоприятных исходов также будем считать по схеме "без возвращения и без учета порядка".
Аналогично подсчитаем количество благоприятных исходов для событий B = {2 второкурсника, 2 третьекурсника, 1 первокурсник} и C = {2 второкурсника, 3 третьекурсника}.
Считать вероятность будем по классическому определению вероятности:
Получается что:
А искомая вероятность получить команду, в которой есть 2 второкурсника и как минимум 1 третьекурсник равняется:
Для тех кто любит досчитывать все до конца придется воспользоваться определением числа сочетаний:
Читайте также другие статьи посвященные данной тематике. https://zen.yandex.ru/id/5e57a99a23af6e788c224cd8