ОГЭ 2020 (Математика) Задание 16(2). Многоугольники.

• Продолжаем разбор 16го задания ОГЭ по математике. Первая часть, куда входят треугольники и углы уже есть на канале. В этой части рассмотрим многоугольники, в частности параллелограмм, ромб и трапецию.
• В данной статье мы не будем рассматривать все свойства многоугольников, а только то, что пригодится в 16ом задании. Более подробно рассмотрим эту тему при анализе второй части экзамена.

1. Параллелограмм.

• Стороны параллелограмма попарно параллельны, тогда как углы попарно равны(противоположные).
• Площадь параллелограмма вычисляется по формуле S=ah, где "h" высота, опущенная из угла на противоположную сторону, а "a" та самая сторона.
• Сумма углов параллелограмма, как и любого четырёхугольника равна 360 ° .
• Частными случаями параллелограмма являются ромб и квадрат.
• Точкой пересечения диагонали параллелограмма делятся пополам.
• Два различных угла между диагоналями параллелограмма, как и два различных угла параллелограмма в сумме дают 180 ° .
• Остальное, что пригодится в решении, относится к треугольникам и углам, уже рассмотренным в первой части.

1.1 Примеры задач.

• Для начала вспомним, что точкой пересечения диагонали параллелограмма делятся пополам. Значит АО=ОС=АВ, а по определению параллелограмма еще и =СD.
• Получаем два равнобедренных треугольника. В треугольнике ODC известен один угол, а остальные два равны. Соответственно понимаем, что оставшиеся два угла равны (180 ° -21 ° )/2=79,5 °
• Этот угол также является углом между диагоналями. Нам нужен меньший угол, поэтому, пользуясь свойством, описанным выше находим второй: 180 ° -79,5 ° =100,5 ° . Этот угол больше.
• В ответ пишем 79,5.

• Здесь мы просто находим острый угол параллелограмма (55 ° ) И, зная, что углы параллелограмма попарно равны, можно понять, что два неравных угла параллелограмма дают в сумме 180 ° .
• Исходя из этого вычисляем больший угол.

2. Ромб.

• Все свойства, присущие параллелограмму, присущи и ромбу.
• Диагонали ромба перпендикулярны между собой.
• Все стороны ромба равны.

2.1 Примеры задач.

• Записываем формулы для известных величин.
• Площадь вычисляется аналогично параллелограмму, а периметр как 4 раза по стороне ромба (ведь они у него равны).
• Далее получаем из формулы периметра длину стороны и подставляем её в формулу площади ромба, чтобы найти высоту.
• Получаем ответ.

• Так как STVO - ромб, все его стороны равны.
• При этом, TO тоже равна сторонам ромба, так как O - центр окружности, а SO=TO=VO (радиусы).
• Видим, что получаются два равносторонних треугольника, для которых характерны углы в 60 ° .
• Нужный нам угол состоит из двух таких и составляет 120 ° .

3. Трапеция.

• Основания трапеции параллельны друг другу.
• Углы при одной боковой стороне трапеции в сумме дают 180 ° (Из определения односторонних углов при двух параллельных и секущей).
• В равнобедренной трапеции углы при основаниях попарно равны.
• Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований, она параллельна им и делит боковые стороны пополам.
• Площадь трапеции вычисляется по формуле S=h(a+b)/2, где "h" - высота трапеции, "a" и "b" - основания.

3.1 Примеры задач.

• Из треугольника ACD можно узнать угол ADC (60 ° ).
• Далее знаем, что углы BCD и ADC в сумме дают 180 °.
• Значит угол BCD равен 120 ° .
• А так как мы имеем дело с равнобедренной трапецией, мы знаем, что углы при основаниях равны. Угол BCD= углу ABC=120 ° .

• Диагональ трапеции разделила её на два треугольника. При чем, в каждом треугольнике часть средней линии трапеции является средней линией этого треугольника по вполне понятным причинам. (Она параллельна основанию и проходит через середину боковой стороны).
• Зная это, мы можем найти каждую из этих частей, вспомнив, что средняя линия треугольника равна половине его основания.
• Большая часть вышла равной 5.

4. Многоугольники.

• Задачи с ними решаются с опорой на уже рассмотренные свойства.

4.1 Примеры задач.

• Помним про формулу для вычисления суммы углов любого многоугольника (См. первую часть разбора).
• Далее замечаем, что восьмиугольник правильный и все его углы равны между собой. Просто делим на 8 сумму углов и получаем ответ.

• Всё идёт от того, что сумма углов выпуклого четырёхугольника 360 ° а их отношения возьмем как коэффициенты для некоторой переменной, которую нам нужно найти.
• Складываем их все, приравниваем к сумме всех углов и находим переменную.
• У самого малого угла для переменной был коэффициент 1, значит берём саму переменную.

Спасибо за прочтение статьи. Если у вас остались вопросы, вы нашли ошибку или у вас есть пример задачи на данную тему, и вы не можете её решить, напишите в комментарии.

Оцените, пожалуйста, статью, если она была полезной.

Все примеры задач взяты с официального сайта для подготовки к ОГЭ "Сдам ГИА".