Данное задание требует от экзаменуемого знания достаточно большой части школьного курса геометрии. В него входят все особенности многоугольников и знание теорем, связанных с правильными фигурами и углами.
Сейчас рассмотрим одну часть данного задания, включающую в себя треугольники и углы.
1. Углы.
- Напомним, что сумму углов выпуклого многоугольника можно рассчитать по формуле (n-2)*180, где n- это количество углов у многоугольника. Так у треугольника это 180 ° , у квадрата 360 ° , и т.д.
- Развёрнутый угол равен 180 ° .
- Далее стоит рассмотреть две параллельные прямые, секущую к ним и углы, образующиеся при этом.
- Зелёные и красные углы равны между собой (частично вертикальные). 1и2(соответственные углы), а также 2и3(накрест лежащие углы) равны между собой. В то время как 2и4(односторонние углы) и 3и4(смежные углы) в сумме дают по 180 ° .
- Также, стоит вспомнить о биссектрисе угла. Она делит угол пополам.-
- Знаем, что сумма трёх углов даёт смежный угол в 180 ° . Вычитаем известный в 108 ° , и остаётся два одинаковых угла, так как ОК- биссектриса. Делим оставшееся пополам, получаем ответ.
2. Треугольник.
2.1 Треугольник общего вида.
- Медиана угла треугольника делит противоположную сторону пополам.
- Высота, опущенная из угла треугольника является перпендикуляром к противоположной стороне.
- Площадь треугольника вычисляется по формуле S=(ah)/2. Хотя существует еще не одна формула для вычисления площади треугольника, этой для 16го задания будет достаточно.
- Биссектриса делит угол треугольника пополам и разделяет противоположную сторону треугольника на части пропорциональные смежным сторонам. (a/a1=b/b1).
- Точка пересечения медиан треугольника делит каждую из медиан в отношении 2:1 от вершины угла.
2.2 Прямоугольный треугольник.
- Свойств прямоугольного треугольника очень много и подробно на них остановимся при рассмотрении заданий второй части. А пока возьмём только то, что пригодится в 16ом задании.
- Для начала вспомним Теорему Пифагора:
- Синусом угла является отношение противолежащего катета к гипотенузе (sin(B)=b/a).
- Косинусом угла является отношение прилежащего катета к гипотенузе (sin(B)=c/a).
- Тангенсом угла является отношение противолежащего катета к прилежащему (tg(B)=b/c).
- Котангенсом угла является отношение прилежащего катета к противолежащему (ctg(B)=c/b).
- Важно понимать, что предыдущие 4 пункта могут относится только к острым углам прямоугольного треугольника.
- Также сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° ввиду суммы углов треугольника в 180 ° и наличие прямого угла в 90 ° .
- Немаловажным свойством является то, что катет, лежащий против угла в 30 ° равен половине гипотенузы.
- Медиана прямоугольного треугольника, опущенная из прямого угла равна половине гипотенузы.
- Если описать вокруг прямоугольного треугольника окружность, то гипотенуза будет диаметром этой окружности.
2.3 Равнобедренный и равносторонний треугольники.
- В равностороннем треугольнике высоты, опущенные из углов являются также биссектрисами и медианами. В равнобедренном это свойство выполняется только для высоты, опущенной из вершины.
- Стороны равностороннего треугольника равны, все углы по 60 ° . В равнобедренном равны две стороны между собой и противолежащие им углы.
- Остальное совпадает со свойствами произвольного треугольника.
3. Примеры задач.
3.1 Углы.
- В данной задаче, видно, что углы 1 и 2 в сумме дают 180 ° . При том, что они односторонние, можно сказать, что прямые на рисунке являются параллельными.
- А если прямые параллельные, то углы 3 и смежный с 4 соответственные при них и секущей. А соответственные углы равны. Следовательно, смежный угол для 4го равен 55 ° .
- Также мы знаем, что смежные углы в сумме дают 180 ° . Отсюда найдём угол 4. 180 ° -55 ° =125 ° . И ответ 125.
3.2 Треугольник общего вида.
- Сначала отмечаем на схеме все данные, которые нам известны (красным)
- Угол ALB смежный с углом ALC и равен 180 ° -112 ° =68 °
- Из треугольника ALB с известными двумя углами можно найти угол LAB 180 ° -106 ° -68 ° =6 °
- AL- биссектриса, поэтому угол LAB = углу LAC = 6 °
- И уже из треугольника ALC найдём угол ACB: 180 ° -112 ° -6 ° =62 °
3.3 Прямоугольный треугольник.
- Угол в 30 ° даёт нам катет равный половине гипотенузы. Запишем его как "а", а гипотенузу как "2а".
- Площадь прямоугольного треугольника можно узнать как полу произведение катетов. Следовательно, выразим второй катет по теореме Пифагора. (Также можно было выразить через косинус угла в 30 ° , но теорему Пифагора, как правило вспоминают чаще).
- Далее подставляем выведенное значение в формулу площади и приравниваем к известному результату.
- Находим "а".
- Гипотенуза равна "2а", получаем в ответе 16.
3.4 Равносторонний треугольник.
- Сперва замечаем, что треугольник равносторонний, значит все его углы по 60 ° .
- Значит биссектрисы AM и CN делят углы при основании на углы по 30 ° .
- Рассматривая треугольник APC вычисляем, что угол APC равен 120 ° (По вполне понятным причинам).
- А угол MPN для найденного угла вертикальный, следовательно ему равный.
- Ответ 120.
Спасибо за прочтение статьи. Если у вас остались вопросы, вы нашли ошибку или у вас есть пример задачи на рассмотренную тему, который вы не можете решить, пишите в комментарии. Постараемся дать развёрнутый ответ.
Вторая часть разбора 16го задания с многоугольниками будет выложена вскоре после этой.
Если статья была понятной и полезной, поддержите нас лайком или комментарием.
Все примеры задач взяты с официального сайта для подготовки к ОГЭ "Сдам ГИА".