(Продолжение. Начало по ссылке 8).
Предыдущие статьи:
1. Натуральные числа, целые числа, рациональные числа, вещественные числа. Что дальше?
2. Существуют ли числа размерности 2?
3. Представления комплексных чисел (размерности 2).
4. Составные числа размерностью 3 (три). Это просто.
5. Гиперкомплексные числа размерностью 4 (четыре).
6. Гиперчисла размерности 5 (пять).
7. Гиперчисла порядков 6 и 7.
8. Гиперболические числа размерности 8.
9. Гиперкомплексные числа размерности 8.
10. Гиперчисла размерности 9.
11. Гиперчисла порядка 10.
Число гиперболическое базовое
Гиперкомплексные числа порядка 8 являются логическим продолжением ряда 2ⁿ ("вещественные – комплексные (порядка 2) – бикомплексные (порядка 4)) чисел. Они, также как и перечисленные, отличаются от гиперболических своими особыми свойствами. Отличие дуальных чисел от гиперкомплексных в том, что в таблице умножения имеются нулевые элементы:
Кроме этих отличий, они имеют и общее, очень близко роднящее их. И оно находится в таблице умножения их гиперединиц. Оно заключается в том, что, если присматриваться к знакам элементов в таблице умножения, ничем не отличаются. Точнее, все они имеют базовую гиперболическую ассоциативную и коммутативную таблицу умножения, одну из множества гиперболических. В числовом и односимвольном представлении эта таблица представлена в следующих двух таблицах:
На основе других таблиц умножения гиперболических чисел также возможно построить некоторую алгебру. Но в силу слабой ассоциативности их полезность сомнительна.
Практически все полезные таблицы умножения 8´8 (в т.ч показанная выше) могут быть получены методом удвоения таблиц умножения порядка 4 с применением определенных принципов, или двойного удвоения таблиц умножения порядка 2 (комплексных и гиперболических чисел), или тройного удвоения таблиц умножения от вещественной единицы 1. Различие между ними – только в расстановке знаков ± и 0 в ячейках таблицы. Методом удвоения от гиперквадратных чисел возможно получить 20 таблиц умножения, из них не изоморфных – 12. В частности, показанная выше таблица может быть получена этим методом как от вещественного, так и двойного гиперболического числа. Ниже представлены ее двухсимвольный и 3–символьный аналоги как результат удвоения гиперболических чисел меньших размерностей 4, 2 и 1:
С помощью метода удвоения Грассмана–Клиффорда от гиперкомплексных чисел меньшего порядка возможно получить 64 не дуальные таблицы умножения, из них 20 существенно различных, и 2¹⁰ = 1024 дуальные таблицы умножения, содержащие нули только в правой нижней ее половине. Существует 9 чисел Клиффорда. Существует также одно число Кэли или октава, полученная методом удвоения Кэли–Диксона от вещественного начала, и 6 чисел, полученных удвоением Кэли–Диксона от чисел размерности 2.
К настоящему времени хорошо изучены 8–числа, когда все αᵤᵥ = –1 (числа Клиффорда); все dᵤ = 1, αᵤᵥ = –1 (числа Паули) ); все dᵤ = –1, αᵤᵥ = –1 (число Кэли, октава или октонион); все dᵤ = 0, αᵤᵥ = –1 (числа Грассмана). Для этих чисел построены теории, аналогичные теории функций комплексного переменного, благодаря чему они нашли широкое применение в современной математике и различных областях науки: матанализе, неевклидовой геометрии, теории непрерывных групп, квантовой теории поля, теории упругости и т.д. Приведем несколько гиперчисел размерности 8.
Число Кэли ( или октава, октонион)
Числа Кэли впервые были рассмотрены в 1843 Грейвсом, приятелем Гамильтона, а двумя годами позже независимо Кэли. Число Кэли — это линейная комбинация элементов {1,i,j,k,l,il,jl,kl}. Каждое число Кэли x может быть записано в форме
x = x₀ + x₁i + x₂ j + x₃k + x₄l + x₅il + x₆ jl + x₇kl
с вещественными коэффициентами xᵢ. Числа Кэли удовлетворяют условию: все dᵤ = –1, αᵤᵥ = –1. Число Кэли также можно представить как комплексный кватернион K², а именно можно считать числами вида K + K'l, где K и K' являются кватернионами:
K² = O = (a + a₁i + a₂j+ a₃k) + (b + b₁i + b₂j+ b₃k)l =
= a + a₁i + a₂j+ a₃k + bl + b₁il + b₂jl + b₃kl.
Число Кэли может быть получено из кватерниона методом удвоения Кэли–Диксона.
А́лгебра Кэ́ли — определённый тип гиперкомплексных чисел, 8–мерная алгебра над полем вещественных чисел. Обычно обозначается O, поскольку её элементы (числа Кэли) называются иногда октонионами или октавами.
Число Кэли находят применение в физике: например, в СТО и теории струн.
Таблица умножения элементов чисел Кэли (октавы) приведена ниже. Она построена таким образом, что элементы в произведении идут в порядке возрастания индекса номера координаты i, j, k, l, причем l² = –1 и l антикоммутирует со всеми другими мнимыми единицами. Из этого выражения бикватерниона видно, что это 8–мерная алгебра и что он состоит из одного вещественного и семи мнимых базисных элементов i, j, k, l, il, jl, kl. Геометрически они могут описывать вращение векторов в четырехмерном пространстве.
Эта таблица умножения не может быть получена из таблиц меньших размерностей методом Грассмана–Клиффорда (здесь числа 1, 2, 3 можно заменить на базовые "мнимые" единицы i, j, k), но может быть получена последовательным удвоением алгебр методом Кэли–Диксона от вещественного числа Q через комплексное число C1 и затем кватернион.
Свойства.
Октавы ассоциативны и коммутативны по сложению, антикоммутативны и не ассоциативны по умножению, дистрибутивны, делителей нуля не имеется. Алгебра октав альтернативна: a(ab) = (aa)b, a(bb)=(ab)b, a(ba)=(ab)a.
По теореме Фробениуса, алгебра Кэли является единственной 8–мерной вещественной альтернативной алгеброй без делителей нуля.
Алгебра Кэли является алгеброй с однозначным делением и с единицей, некоммутативной, неассоциативной, но альтернативной.
Алгебра Кэли не является кольцом, потому что она не ассоциативна и не коммутативна. Например:
(k · l) ·il = kl · il = –ki = –j,
k · (l ·il) = k ·(–i (–1)) = j.
В этом примере проявляется антиассоциативность.
Операция сопряжения октониона x определена стандартным образом с изменением знаков при гиперединицах.
Числа Паули. Числа Клиффорда
Примером гиперкубических чисел являются числа Паули. Числами Паули называются числа εp = 1, αpq = –1. Стандартное название чисел Паули – гипер(–)гипер(–)гиперболические числа Клиффорда размерности 3.
Числа Паули могут быть получены из гипер(-)гиперболических чисел методом удвоения Грассмана-Клиффорда с мнимой гиперболической антикоммутативной единицей i₃² = 1. Результаты всевозможных произведений мнимых единиц друг на друга приведены в следующей таблице. Слева вверху показаны знаки произведений базисных гиперединиц друг на друга, слева внизу получающаяся таблица. Другая, стандартная форма этой таблицы умножения, показана справа внизу. В ней базовые мнимые единицы расположены в порядке возрастания:
Используя эту таблицу, можно показать, что произведение чисел Паули ассоциативно. Однако оно, вообще говоря, некоммутативно. Этими же свойствами обладают и все числа Клиффорда, кроме комплексных чисел. Бибикомплексное ассоциативное коммутативное число размерности 8
Представленные выше гиперчисла не являются единственными. Для примера представляю еще два числа, в отличие от предыдущей – коммутативные:
Дуальные числа
Кроме показанных выше гиперболических и гиперкомплексных чисел, существуют дуальные числа. Их отличие от гиперкомплексных в том, что в таблице умножения имеются нулевые ячейки.
Если хотите узнать, что обозначает слово или словосочетание, в ОПЕРЕ выделите это слово(сочетание), нажмите правую клавишу мыши и выберите "Искать в ...", далее - "Yandex". Все! О-ля-ля!
Если вам понравилась статья, то поставьте "лайк" и подпишитесь на канал! Этим вы поможете каналу.
Ссылка на мою статью Как написать формулы в статье на Дзен?
Мои странички на Дзен: https://zen.yandex.ru/id/5e036c95fc69ab00aecfe6e9