Рассчитайте момент инерции однородного кольца массой m = 1 кг относительно оси вращения, совпадающей с его осью симметрии. Внутренний радиус кольца R1 = 10 см, внешний радиус R2 - 30 см. // Ремизов А.Н., Максина А.Г. "Сборник задач...", 2001 г.
Примечание: формулы к данной задаче перенабраны и теперь её в более удобном для восприятия виде можно посмотреть тут.
В данной задаче мы рассматриваем кольцо, у которого имеется бесконечное количество осей симметрии. Обратим внимание на две из них. Одна проходит через центр кольца ортогонально его плоскости (на рисунке выше слева отмечена красным). Другая проходит так, как указано выше на рисунке справа - в плоскости кольца, пересекая его центр. Очевидно, что таких осей симметрии у кольца бесконечное множество, но они все равноправны между собой. Поэтому можно подсчитать момент инерции кольца относительно одной из них и одновременно установить результат для остальных таких же осей.
Рассмотрим случай №1.
Момент инерции тела является величиной аддитивной, т.е. суммой моментов инерции отдельных частей тела. По аналогии с задачей 1.7 можно считать, что момент инерции кольца I равен разности моментов инерции сплошных кругов с радиусом R2 и R1:
I=I2-I1, (1)
где I1,2 -соответствующие моменты инерции кругов с указанными радиусами. Можно воспользоваться готовым результатом, который говорит, что для сплошного однородного круга с радиусом R и массой m момент инерции Ik равен:
Ik=m*R^2/2. (2)
Тогда
I=(m2*R2^2-m*R1^2)/2, (3)
где m1,2 - массы кругов. Чтобы узнать величины этих масс, введём понятие поверхностной плотности ro для кольца с площадью Sk:
ro=m/Sk. (4)
Воспользуемся результатом задачи 1.7 (формула (2)):
Sk=pi*(R2^2-R1^2). (5)
где pi - число пи. Так как плотность рассматриваемого в задаче кольца и введённых в рассмотрение сплошных кругов одинакова, то их массы будут определяться следующими выражениями:
m1= ro* pi* R1^2=m*R1^2/(R2^2-R1^2),
m2= ro* pi* R2^2=m*R2^2/(R2^2-R1^2). (6)
Таким образом, формула (3) позволяет получить выражение для момента инерции I:
I=m*(R2^4-R1^4)/(2*(R2^2-R1^2))=m*(R2^2+R1^2)/2. (7)
Проверим предельные случаи. Пусть R1 стремится к нулю, тогда
I= m*R2^2/2. (8)
Данный результат совпадает с результатом для сплошного круга (см. формулу (2)), что и должно иметь место. Действительно, при стремлении R1 к нулю отверстие в кольце становится всё меньше и меньше, исчезая в пределе, а кольцо превращается в круг.
Пусть теперь R1 стремится к R2 - т.е. вся масса кольца будет сосредоточена в тончайшем ободе, все точки которого находятся на одинаковом от оси вращения расстоянии R. В этом случае имеем
I= m*R2^2. (9)
Формула (9) для бесконечно тонкого обода с массой m как раз и следует из определения момента инерции.
Рассмотрим случай №2.
Во втором случае в качестве примера попробуем вычислить момент инерции относительной второй оси с помощью интегрирования. Для этого выпишем явное определение момента инерции для тонкого однородного диска с плотностью u:
I=int(dm(r)*r^2,...)=int(r^2*u*dS,...)=u* int(r^2*dS,...) , (10)
где int - интеграл по некоторым переменным, обозначенным троеточием, r - расстояние бесконечно малой массы dm(r) от оси вращения, dS - площадь поверхности, по которой распределена данная масса. Интеграл (10) достаточно удобно вычислять в полярных координатах (j,fi), в которых элемент площади поверхности имеет следующий вид:
dS=j*dj*dfi, (11)
где dfi и dj- бесконечно малые приращения полярного угла и радиальной координаты. Чтобы правильно вычислить зависимость расстояния от оси вращения r от радиальной координаты обратим внимание на рисунок ниже.
Из рисунка видно, что расстояние от бесконечно малой площади до оси вращения определяется перпендикуляром. Для его длины (из прямоугольного треугольника) имеем:
r=j*sin(fi). (12)
Таким образом,
I=u* int(j^2*sin(fi)^2*j*dj*dfi,j=R1..R2,fi=0..2*Pi). (13).
Формулу (13) можно преобразовать к виду:
I=u*(int(j^3*dj,j=R1..R2)*int(sin(fi)^2*dfi,fi=0..2*Pi)). (14)
Данный интеграл легко вычисляется:
I=u*pi*(R2^4-R1^4)/4. (15)
Проверим формулу (15). Если R1=0, то получается известное выражение:
I=m2*R2^2/4, (16)
в котором учтено, что масса диска m2 с радиусом R2 есть произведение плотности u на его площадь. В нашем случае плотность u можно вычислить по формуле (4). Тогда
I=u*pi*(R2^4-R1^4)/4=m*(R2^2+R1^2)/4. (17)
Очевидно, что момент инерции кольца во втором случае должен быть меньше, чем в первом случае. Это понятно из тех соображений, что некоторые точки кольца находятся на нулевом расстоянии от оси вращения во втором случае, когда в первом случае все точки кольца находятся от неё на расстоянии, не меньшем R1.
Ответ: случай 1: I=m*(R2^2+R1^2)/2; случай 2: I=m*(R2^2+R1^2)/4.