Колебания и волны
1. Механические колебания — точно или приблизительно повторяющееся движение, при котором тело смещается относительно положения равновесия, отклоняясь от него то в одну, то в другую сторону.
Для того чтобы возникли и совершались механические колебания необходима колебательная система. В механике изучаются две колебательные систем: математический и пружинный маятники.
2. Колебательная система — математический маятник — представляет собой тело, подвешенное на нити, размеры которого много меньше длины нити. Кроме того, нить математического маятника нерастяжима и не имеет массы, вся масса такого маятника сосредоточена в подвешенном к нити грузе.
В положении равновесия (рис. 59) на маятник действуют противоположно направленные сила тяжести F т и сила упругости F у. Их равнодействующая равна нулю.
Механические колебания
Т - период колебаний - время одного полного колебания [ 1с ]
ν - частота колебаний - число колебаний за единицу времени [ 1Гц ]
T = 1/ ν
ω - циклическая частота [1 рад/с ]
ω = 2πν = 2π/T
T = 2π/ω
Период колебаний математического и пружинного маятников зависит от характеристик этих систем.
Период колебаний математического маятника:
T = 2π √ (l/g)
где l — длина нити маятника, g — ускорение свободного падения.
Период колебаний пружинного маятника:
T = 2π √(m/k)
где m — масса груза, k — коэффициент жёсткости пружины.
Уравнение гармонических колебаний: x = xm sin(ωt +φ0)
Уравнение скорости: ʋ = x, = xmωcos(ωt + φ0 ) = ʋmcos(ωt + φ0) ʋm = xmω
Уравнение ускорения: a = ʋ, = - xmω2sin(ωt + φ0 )
am = xmω2 амплитуда ускорения
Энергия гармонических колебаний:
m ʋm2/2 = kxm2/2 = m ʋ2/2 + kx2/2 = const
Механической волной называется процесс распространения механических колебаний в среде.
Если закрепить конец шнура, слегка натянуть его и сместить свободный конец вверх, а затем вниз, т.е. привести его в колебания, то но шнуру «побежит» волна. Каждая точка шнура будет совершать вынужденные колебания с частотой внешней силы, но с некоторым опозданием. При распространении колебаний по шнуру волна «бежит» в горизонтальном направлении, а колебания частицы совершают в вертикальном направлении.
Волны, направление распространения которых перпендикулярно направлению колебаний частиц среды, называются поперечными.
Поперечные волны представляют собой чередование горбов и впадин (рис. 61).
Расстояние между двумя ближайшими горбами или впадинами называется длиной волны.
Длина волны обозначается букой λ и измеряется в метрах.
На расстояние, равное длине волны, волна распространяется за время, равное периоду колебаний.
1. Если закрепить один конец длинной пружины, а по другому ударить, то возникшее на конце пружины сгущение витков «побежит» по ней (рис. 62). В этом случае волна представляет собой распространение сгущений и разряжений. Частицы среды при этом совершают колебания вдоль направления распространения волны. Такие волны называют продольными.
Продольные волны — это такие, направление распространения которых совпадает с направлением колебаний частиц среды.
2. Волновое движение имеет следующие особенности:
- механические волны образуются благодаря инертности частиц среды и взаимодействию между ними, проявляющемуся в существовании сил упругости;
- каждая частица среды совершает вынужденные колебания такие же, что и первая частица, приведенная в колебания, частота которых равна частоте внешней силы. Период колебаний всех частиц одинаков;
- колебание каждой частицы происходит с запаздыванием, которое обусловлено её инертностью. Это запаздывание тем больше, чем дальше находится частица от источника колебаний;
- вместе с волной не переносится вещество, переносится энергия.
3. Распространение продольных волн связано с изменением объёма тела. Они могут распространяться как в твёрдых, так и в жидких и газообразных телах, поскольку во всех этих телах при изменении объёма возникают силы упругости.
Распространение поперечных волн связано главным образом с изменением формы тела. В газах и жидкостях при изменении формы силы упругости не возникают, поэтому поперечные волны в них распространяться не могут. Поперечные волны распространяются только в твёрдых телах.
Примером волнового движения в твёрдом теле является распространение колебаний во время землетрясений. От центра землетрясения распространяются как продольные, так и поперечные волны. Сейсмическая станция принимает сначала продольные волны, а затем поперечные, т.к. скорость последних меньше. Если известны скорости поперечной и продольной волн и измерен промежуток времени между их приходом, то можно определить расстояние от центра землетрясения до станции.
4. Скоростью волны считается скорость перемещения гребня или впадины в поперечной волне, сгущения или разрежения в продольной волне.
За время, равное периоду колебаний (T), гребень или впадина перемещаются на расстояние, равное длине волны (λ). Следовательно, скорость волны (v) равна: v=λT.
Поскольку T=1v, то формулу для скорости можно записать иначе: v=λν.
Скорость волны равна произведению длины волны и частоты колебаний.
5. Колебания, происходящие с частотой от 16 Гц до 20 000 Гц, являются звуковыми колебаниями. Для распространения звуковых колебаний, так же как и любых механических колебаний, необходима упругая среда.
Скорость звука можно определить, если известны расстояние от источника звука S и время распространения звука t: v=St. Скорость звука неодинакова в разных средах и зависит от температуры среды.
Физиологическим характеристикам звука (громкости, высоте тона) соответствуют физические характеристики. Громкость звука определяется амплитудой колебаний. Чем она больше, тем громче звук. Звук тем выше, чем больше частота колебаний.
Волна - распространение колебаний в пространстве
скорость волны ʋ = λ /T
Уранение бегущей волны:
x = xmsinωt - уравнение колебаний
x - смещение в любой момент времени, xm - амплитуда колебаний
ʋ - скорость распространения колебаний
Ϯ - время, через которое придут колебания в точку x: Ϯ = x/ʋ
Уранение бегущей волны: x = xm sin(ω( t - Ϯ )) = xm sin(ω( t - x/ʋ ))
x - смещение в любой момент времени
Ϯ - время запаздывания колебаний в данной точке
Оптика
Оптика – это раздел физики, в котором изучаются закономерности световых явлений, природа света и его взаимодействие с веществом.
Световой луч – это линия, вдоль которой распространяется свет.
Закон независимости световых лучей:
при пересечении световых лучей каждый из них продолжает распространяться в прежнем направлении.
Источник света – это тело, которое излучает свет.
При излучении света источник теряет энергию, при поглощении его внутренняя энергия увеличивается, т. е. распространение света сопровождается переносом энергии.
Виды источников света:
- тепловые – это источники, в которых излучение света происходит в результате нагревания тела до высокой температуры;
- люминисцентные – это тела, излучающие свет при облучении их светом, рентгеновскими лучами, радиоактивным излучением и т. д.
Точечный источник света – это источник, представляющий собой светящуюся материальную точку, т. е. источник, размеры которого малы по сравнению с расстоянием до освещаемого предмета.
Если источник света находится в бесконечности, то его лучи падают на поверхность параллельным пучком.
Свет – это электромагнитная волна с частотой от 1,5·1011 Гц до 3·1016 Гц.
Скорость света в вакууме: c = 3·108 м/с.
В основе явления распространения света лежат три закона: закон прямолинейного распространения света, закон отражения света и закон преломления света.
1. Закон прямолинейного распространения света
Закон прямолинейного распространения света: в однородной среде свет распространяется прямолинейно. Однородная среда — это среда, состоящая из одного и того же вещества, например, воздух, вода, стекло, масло и пр. Наблюдать прямолинейное распространение света можно в затемненной комнате, в которую через небольшое отверстие проникает луч света.
Экспериментальным подтверждением закона прямолинейного распространения света является образование тени и образование полутени. На границе двух прозрачных сред световой луч частично отражается, частично преломляется.
2. Закон отражения света. Плоское зеркало
Закон отражения света: а) луч падающий, луч отражённый и перпендикуляр к отражающей поверхности в точке падения луча лежат в одной плоскости; б) угол падения равен углу отражения.
Закон отражения света работает в плоском зеркале. Изображения предметов в плоском зеркале являются мнимыми, находятся позади зеркала на таком же расстоянии от него, как и сами предметы, и равны им по размерам.
Закон отражения: Угол отражения равен углу падения
3. Закон преломления света
Закон преломления света: 1. Луч падающий, луч преломлённый и перпендикуляр к границе раздела сред в точке падения луча лежат в одной плоскости. 2. При переходе света в оптически более плотную среду луч отклоняется к перпендикуляру к границе раздела сред. И наоборот.
Принцип обратимости световых лучей: ход лучей не изменится, если изменить их направление на противоположное.
Закон преломления: sinα/sinβ = ʋ1/ ʋ2 = n
n - относительный показатель преломления второй среды к первой
n = n2/n1
n1 - абсолютный показатель преломления первой среды n1 = c/ʋ1
n2 - абсолютный показатель преломления второй среды n2 = c/ʋ2
При переходе света из одной среды в другую меняется его длина волны, частота остаётся неизменной v1 = v2 n1 λ1 = n1 λ2
Полное отражение
Явление полного внутреннего отражения наблюдается при переходе света из более плотной среды в менее плотную, когда угол преломления достигает 90°
Предельный угол полного отражения: sinα0 = 1/n = n2/n1
Линзы. Оптическая сила линзы
Линза – это прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими или криволинейными поверхностями, одна из которых может быть плоской.
Тонкая линза – физическая модель линзы, в которой ее толщиной можно пренебречь по сравнению с диаметром линзы.
Классификация линз
1. По форме:
- выпуклые – это линзы, у которых средняя часть толще, чем края;
- вогнутые – это линзы, у которых края толще, чем средняя часть.
2. По оптическим свойствам:
- собирающие – это линзы, после прохождения которых параллельный пучок лучей собирается в одной точке;
- рассеивающие – это линзы, после прохождения которых параллельный пучок лучей рассеивается.
Условные обозначения:
Величины, характеризующие линзу
Главная оптическая ось – это прямая, проходящая через центры сферических поверхностей линзы.
Оптический центр линзы – это точка пересечения главной оптической оси с линзой, проходя через которую луч не изменяет своего направления.
Побочная оптическая ось – это любая прямая, проходящая через оптический центр линзы под произвольным углом к главной оптической оси.
Фокус линзы – это точка, в которой пересекаются после преломления лучи, падающие на линзу параллельно главной оптической оси.
Обозначение – F.
Фокусное расстояние – это расстояние от оптического центра линзы до ее фокуса. Обозначение – F, единица измерения – м.
Фокальная плоскость – это плоскость, проходящая через фокус линзы перпендикулярно ее главной оптической оси.
Побочный фокус – это точка пересечения побочной оптической оси с фокальной плоскостью.
Оптическая сила линзы – это величина, обратная фокусному расстоянию.
Обозначение – D, единица измерения – диоптрия (дптр):
1 дптр – это оптическая сила линзы с фокусным расстоянием 1 м.
Правило знаков:
- F > 0, если линза собирающая; F < 0, если линза рассеивающая;
- d > 0, если предмет действительный; d < 0, если предмет мнимый (если на линзу падает сходящийся пучок лучей);
- f > 0, если изображение действительное; f < 0, если изображение мнимое.
Формула тонкой линзы 1/F = 1/d + 1/f
d - расстояние от предмета до линзы
f - расстояние от линзы до изображения
F - фокусное расстояние
Оптическая сила линзы D = 1/F
Увеличение линзы Г = H/h = f/d
h - высота предмета
H - высота изображения
На рисунке
f – расстояние от линзы до изображения, d – расстояние от предмета до линзы.
Важно!
При расчете увеличения линзы знаки f и d не учитываются.
Построение изображений в линзах
Для построения изображения в линзах следует помнить:
- луч, идущий вдоль главной оптической оси линзы, не преломляется;
- луч, проходящий через оптический центр линзы, не преломляется;
- луч, падающий на собирающую линзу параллельно главной оптической оси, после преломления пройдет через фокус линзы;
- луч, падающий на рассеивающую линзу параллельно главной оптической оси, преломится так, что его мнимое продолжение пройдет через фокус линзы, а сам луч – противоположно мнимому продолжению;
- луч, падающий на собирающую линзу через фокус, после преломления пройдет параллельно главной оптической оси линзы;
- произвольный луч после преломления в собирающей линзе пойдет через побочный фокус (точку фокальной плоскости, в которой ее пересечет параллельная произвольному лучу побочная оптическая ось);
- произвольный луч, падающий на рассеивающую линзу, преломится так, что его мнимое продолжение пройдет через точку, в которой пересечет фокальную плоскость линзы побочная оптическая ось, параллельная произвольному лучу.
Изображение, даваемое тонкой линзой, может быть действительным или мнимым.
Действительное изображение получается в результате пересечения преломленных в линзе лучей, исходящих из данной точки.
Мнимое изображение получается в результате пересечения продолжений преломленных в линзе лучей, исходящих из данной точки.
Построение изображений точки, даваемых собирающей линзой
- Если точка находится за двойным фокусом линзы, то ее действительное изображение получается между фокусом и двойным фокусом по другую сторону от линзы.
- Если точка находится в двойном фокусе линзы, то его действительное изображение получается в двойном фокусе по другую сторону от линзы.
- Если точка находится между фокусом и двойным фокусом линзы, то его действительное изображение получается за двойным фокусом по другую сторону от линзы.
- Если точка находится в фокусе линзы, то его изображение находится в бесконечности.
- Если точка находится между линзой и фокусом, то его мнимое изображение получается по ту же сторону от линзы.
Построение изображений предмета, даваемых собирающей линзой
- Если предмет находится за двойным фокусом линзы, то его изображение получается действительным, перевернутым, уменьшенным, по другую сторону от линзы.
- Если предмет находится в двойном фокусе линзы, то его изображение получается действительным, перевернутым, равным по размерам предмету, в двойном фокусе по другую сторону от линзы.
- Если предмет находится между фокусом и двойным фокусом линзы, то его изображение получается действительным, перевернутым, увеличенным, по другую сторону от линзы.
- Если предмет находится в фокусе линзы, то его изображение находится в бесконечности.
- Если предмет находится между линзой и фокусом, то его изображение получается мнимым, прямым, увеличенным, по ту же сторону от линзы.
Построение изображений точки, даваемых рассеивающей линзой
В рассеивающей линзе изображение точки всегда получается мнимым, по ту же сторону от линзы.
Построение изображений предмета, даваемых рассеивающей линзой
Изображение предмета в рассеивающей линзе всегда получается мнимым, прямым, уменьшенным, по ту же сторону от линзы.
Важно!
При решении задач на прохождение световых лучей сквозь линзы и получение изображений в них прежде всего выясните, о какой линзе идет речь: собирающей или рассеивающей. Обязательно сделайте чертеж, на котором соответствующими буквами укажите все основные расстояния: расстояние от предмета до линзы, расстояние от линзы до изображения, фокусное расстояние. Также обязательно укажите оптический центр линзы и оба фокуса по разные стороны от линзы.
При построении изображения следует заранее выучить, каким оно должно быть при соответствующем расположении предмета относительно линзы и где находиться (действительным или мнимым, увеличенным или уменьшенным, прямым или обратным). В противном случае при неверном построении, когда вы чуть-чуть искривите луч или он пойдет неточно через фокус или центр, изображение может оказаться не там, где надо, или вместо увеличенного уменьшенным, и тогда в решении появится ошибка.
Оптические приборы. Глаз как оптическая система
Оптические приборы – это устройства, предназначенные для получения на экране, светочувствительных пленках, фотопленках и в глазу изображений различных предметов.
Лупа – это короткофокусная двояковыпуклая линза, предназначенная для относительно небольшого увеличения изображения.
Увеличение лупы рассчитывается по формуле:
где d0 – расстояние наилучшего зрения, d0 = 0,25 м.
Для получения увеличенного изображения предмет помещают перед линзой на расстоянии немного меньше фокусного. Изображение получается мнимым.
Микроскоп – это оптический прибор, предназначенный для рассматривания очень мелких предметов под большим углом зрения.
Микроскоп состоит из двух собирающих линз – короткофокусного объектива и длиннофокусного окуляра, расстояние между которыми может изменяться:
где F1 – фокусное расстояние объектива; F2 – фокусное расстояние окуляра.
Фотоаппарат – прибор, предназначенный для получения действительных, уменьшенных, перевернутых изображений предметов на фотопленке.
Предметы могут находиться на разных расстояниях.
Мультимедийный проектор – оптическое устройство, с помощью которого на экране получают действительное, увеличенное изображение, снятое с источника видеосигнала.
Человеческий глаз – оптическая система, подобная фотоаппарату.
Зрачок регулирует доступ света в глаз. Диаметр зрачка уменьшается при ярком освещении и увеличивается при слабом.
Хрусталик имеет форму двояковыпуклой линзы с показателем преломления 1,41. Он может изменять свою форму, в результате чего меняется его фокусное расстояние. При рассмотрении близких предметов хрусталик становится более выпуклым, при рассмотрении удаленных предметов – более плоским.
На сетчатке глаза образуется действительное, уменьшенное, перевернутое изображение предмета. Благодаря большому количеству нервных окончаний, находящихся на сетчатке, их раздражение передается в мозг и вызывает зрительные ощущения.
Зрение двумя глазами позволяет видеть предмет с разных сторон, т. е. осуществлять объемное зрение.
Если смотреть на предмет одним глазом, то, начиная с 10 м, он будет казаться плоским, если смотреть на предмет двумя глазами, то это расстояние увеличивается до 500 м.
Угол зрения – это угол, образованный лучами, идущими от краев предмета в оптический центр глаза.
φ – угол зрения.
Аккомодация глаза – это свойство глаза, обеспечивающее четкое восприятие равноудаленных предметов путем изменения фокусного расстояния оптической системы.
Предел аккомодации – от ∞ до 10 см.
Расстояние наилучшего зрения – это наименьшее расстояние, с которого глаз может без особого напряжения рассматривать предметы:
d=25 см
Дефекты зрения
- Близорукость – это дефект оптической системы глаза, при котором ее фокус находится перед сетчаткой. Близорукий глаз плохо видит отдаленные предметы.
- Дальнозоркость – это дефект оптической системы глаза, при котором ее фокус находится за сетчаткой. Дальнозоркий глаз плохо видит близкие предметы.
Очки – это простейший прибор для коррекции оптических недостатков зрения.
Близорукость исправляют с помощью рассеивающих линз.
Дальнозоркость исправляют с помощью собирающих линз.
Дисперсия - разложение белого цвета в спектр из-за разного показателя преломления у всех цветов, т.е. дисперсия света – это зависимость показателя преломления среды от длины волны (частоты) падающего на вещество света.
Интерференция - сложение волн в пространстве при их наложении при условии их когерентности
Когерентные волны – это волны, имеющие одинаковую частоту и постоянную во времени разность фаз.
Когерентные волны можно получить от одного источника в результате отражения, преломления или дифракции.
Два независимых источника света не могут быть когерентными, поэтому в опытах с интерференцией света световые пучки от одного источника разделяют на два пучка, заставляют их проходить разные расстояния, а потом соединяют.
Условия максимумов: Δd = k λ - целое число длин волн
Условия минимумов: Δd = ( 2k + 1) λ/2 - нечётное число длин полуволн
Δd - разность хода двух волн
Дифракция - огибание волной препятствия
Дифракция света – это явление отклонения волны от прямолинейного распространения при прохождении через малые отверстия и огибании волной малых препятствий.
Наилучшее условие для наблюдения дифракции создается, когда размеры отверстий или препятствий – порядка длины волны. Чтобы определить распределение интенсивности световой волны, распространяющейся в среде с неоднородностями, используют принцип Гюйгенса–Френеля.
Дифракционная решётка :
dsinα = k λ - формула дифракционной решётки
d - постоянная решётки
dx/L = k λ
x - расстояние от центрального максимума до изображения
L - расстояние от решётки до экрана