Наряду с решением электрических схем по законам Кирхгофа и методу контурных токов используется метод узловых потенциалов [1]. Его применение рационально в случае, если количество узлов больше количества независимых контуров в схеме.
Воспользуйтесь программой онлайн-расчёта электрических цепей. Программа позволяет рассчитывать электрические цепи по закону Ома, по законам Кирхгофа, по методам контурных токов, узловых потенциалов и эквивалентного генератора, а также рассчитывать эквивалентное сопротивление цепи относительно источника питания.
Метод узловых потенциалов (МУП) заключается в том, что на основании первого закона Кирхгофа и закона Ома определяются напряжения в узлах электрической цепи (потенциалы узлов φ) относительно некоторого базисного узла, а затем по закону Ома находятся токи в отдельных ветвях. Количество уравнений для решения электрической цепи по МУП равно Nу – 1 – NЕ, где Nу – число узлов, NE – число особых ветвей. Особой ветвью называется такая ветвь, в которой имеется только источник напряжения и отсутствует сопротивление.
Вывод метода
Вывод метода узловых потенциалов рассмотрим на примере схемы, указанной на рис. 1. Обозначенное комплексное сопротивление Z представляет собой эквивалентное сопротивление соответствующей ветви. Проводимостью ветви называется обратная этому значению величина, т.е. Y = 1 / Z.
Обозначим на схеме токи, задав им произвольное направление, и пронумеруем узлы на схеме. В качестве базисного узла, относительно которого будем производить расчёты потенциалов, выберем узел 4 (φ4 = 0).
Рассмотрим на примере 1-го узла вывод формулы расчёта узлового потенциала, для этого запишем уравнение по первому закону Кирхгофа:
−I1 − I2 − I3 − J1 = 0.
По закону Ома выразим неизвестные токи в ветвях, сходящихся в рассматриваемом узле, через потенциалы узлов по концам этих ветвей:
Подставим выраженные токи в уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа, заменив сопротивления проводимостями, и сгруппируем уравнение относительно неизвестных потенциалов:
Расписав уравнения для остальных узлов, получим систему уравнений, решив которую можно получить значения неизвестных потенциалов:
Нахождение токов осуществляется по закону Ома через вычисленные потенциалы узлов:
Вывод частного случая метода узловых потенциалов
Рассмотрим вывод уравнений для расчёта цепей с двумя и более особыми ветвями, не имеющими общих узлов. Вывод уравнений произведём на примере схемы рис. 2. Как и в предыдущем случае, произвольно обозначим на схеме токи и пронумеруем узлы. Для уменьшения числа уравнений в качестве базисного узла примем узел 4, к которому примыкает особая ветвь с Е4. Таким образом потенциал φ4 = 0 В, а потенциал φ1 = E4.
Потенциалы по концам особой ветви с источником Е6 невозможно вычислить по уравнениям, выведенным в предыдущем пункте, поскольку проводимость этой ветви будет бесконечно большой. В то же время потенциалы узлов этой ветви будут отличаться на величину ЭДС. Поэтому достаточно определить потенциал с одной стороны. Для этого составим уравнение по первому закону Кирхгофа, к примеру, для узла 6:
I8 + I9 − I6 = 0.
Токи I8 и I9 можно выразить по закону Ома через потенциалы по концам ветвей, в которых они протекают, но ток I6 остаётся неизвестным. Выразим его через первый закон Кирхгофа для узла 3, расположенного на противоположном конце особой ветви, и подставим в предыдущее уравнение:
I6 = −I1 − I3 − J1,
I8 + I9 + I1 + I3 + J1 = 0.
По закону Ома выразим токи в ветвях через потенциалы узлов:
Подставим выраженные токи в уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа, заменив сопротивления проводимостями, и сгруппируем уравнение относительно неизвестных потенциалов:
Выразим потенциал узла 3 через Е6 и φ6 и подставим в предыдущее уравнение:
Уравнения для расчёта остальных неизвестных потенциалов (в узлах 2 и 5) и токов записываются аналогично предыдущему пункту, а токи в особых ветвях находятся по первому закону Кирхгофа.
Методика расчёта электрических цепей по методу узловых потенциалов приведена здесь.
Список использованной литературы
- Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, переработанное. М., «Энергия», 197