Для начала сразу обозначим, что способов решения логарифмических уравнений есть несколько. Я опишу два. Если у вас есть свой способ, поделитесь в комментариях.
Уже несколько лет, мне перестали попадаться дети, которые понимают, что такое логарифм. Поэтому решение логарифмических уравнений даётся им с трудом. Приходится идти на всякие хитрости и ухищрения, чтобы ребенок при решении написал всё, что нужно, не понимая зачем. Впрочем, не будем слишком сильно растягивать вступление.
Итак, для начала обозначим два типа логарифмических уравнений, про которые будем говорить.
То есть, уравнение с которым мы работаем мы должны привести к одному из данных типов, используя свойства логарифма. Если не приводится, можно использовать метод замены переменной или еще что-нибудь нашаманить. Принципиальной разницы между этими двумя типами нет: из первого можно сделать второй, из второго первый. Но на практике удобней их разграничивать.
Теперь вспомним, что логарифмическая функция определена не на всём множестве значений переменной, а только на положительных значениях. Это значит, что при решении логарифмического уравнения, нам придется затрагивать тему отбора корней. Это может быть ОДЗ, может быть проверка или что-то еще.
Рассмотрим решение первого типа уравнений, которое часто называют простейшее логарифмическое уравнение. Если основание логарифма положительное и не равно единицы (в противном случае уравнение не решается), то данное уравнение имеет один корень.
Оговоримся, что нахождение ОДЗ или ограничение на выражение под логарифмом, в данном случае, излишне, потому что степень всегда положительна, при положительном основании. Но, когда вы работаете с детьми, вы должны оценить риски. Если вы скажете им, что нахождение ОДЗ в уравнениях подобного типа не нужно, они могут запомнить, что ОДЗ не нужно вообще и возникнут проблемы. Всё зависит от того с какими детьми мы разговариваем.
Теперь рассмотрим схему решений уравнения второго типа. Здесь без ОДЗ мы уже не обойдемся. Используя второй способ, мы тоже находим область допустимых значений, но в неявном виде.
В первом способе при нахождении ОДЗ достаточно только одного какого-то неравенства, потому что затем мы приравниваем функции и вторая также автоматически станет положительной. Но опять же нельзя отбросить второе условие сразу же, есть риск, что дети останутся без осознания почему мы это делаем. Возникнет много вопросов, а при решении неравенств эти вопросы опять вылезут.
И наконец, самое интересное, какой способ лучше. Буду повторять это стопятьсот тысяч раз. Учителю необходимо учитывать конкретную ситуацию и, исходя из нее, решать, что говорить детям. Я категорически против того, чтобы выбрать один способ и везде и всюду использовать только его. Это ужасная узость мышления, которая опасна в жизни и ужасно неуместна в математике. Детей необходимо учить оценивать трудоемкость каждого способа и давать им возможность выбирать.
Я хочу привести несколько примеров, иллюстрирующих необходимость ОДЗ, для всех кто сомневается, что это важное понятие.
По-моему, в уравнениях подобного типа ОДЗ стоит находить всегда в начале решения. Потому что, когда мы начнем его решать, можно забыть, что оно имело какие-то ограничения и, получив ответ с облегчением записать все полученные числа. В данном случае ОДЗ - множество положительных чисел.
Дальше преобразуем наше уравнение, чтобы свести его к одному из типов.
Теперь посмотрим, что будет, если мы не станем искать ОДЗ, а будем использовать переход к равносильной системе.
Надеюсь проблема видна всем. И подобное "расширение" ОДЗ будет происходить всегда, при решении уравнения с преобразованиями.
Думаю, на этом мы пока остановимся, спасибо всем кто дочитал до этого момента. Еще несколько примеров рассмотрим в следующей статье. Не переключайтесь!