Современный русский язык допускает употребление все этих форм: машу, машет, машут, махаю, махает, махают и т.д.
Нормативными соответствующими стилистике современного русского языка считаются: машу, машет, машут, машем.
В то же время формы «махаю, махают и т.д.» допустимы в русском языке, но как разговорные, просторечные. В сочинении их использовать нельзя.
В 18 веке все формы были равны и могли употребляться любые. Об этом свидетельствует учебник по краткой русской грамматики для гимназий при Московском университете. Такие глаголы назвались изобилующими, где обе формы имели равнозначное употребление.
Махать – старый глагол, поэтому имеет две формы употребления, причем форма с «х» более новая. Для детей и многих людей не понятно, почему буква «Х» изменяется на «Ш». С точки зрения удобства и логики – это не верно, но так исторически сложилось. Сейчас большинство глаголов на «-хать» вполне логично спрягаются, например, охать, бухать, вздыхать, пихать, нюхать, высыхать и т.д. Конечно, есть исключения – брехать, пахать, ехать и т.д.
Кстати, формы деепричастия от глагола махать – маша, махая – равноправные в современном русском языке.
Формы кавычек в разных языках, и как они появились в русском языке
Как грамотно писать «Восколько», «Во-сколько» или «Во сколько»?