Симметрия встречается повсюду: в искусстве, в повседневной жизни, в математике. Кроме того, симметрия — фундаментальное понятие в современной теоретической физике.
Определение симметрии
Симметрия объекта в пространстве — это преобразование пространства (поворот или зеркальное отражение), которое не изменяет сам объект. Например, у сферы бесконечно много симметрий — фигура не изменится, как бы мы ее ни повернули.
Объяснить симметрию можно с помощью колоды игральных карт. На рубашках напечатана репродукция картины Виктора Васнецова «Витязь на распутье». Изображение несимметрично и меняется при любом повороте карты. У туза червей из этой колоды почти нет симметрии. Хотя изображение сердца и обладает двусторонней симметрией, оформление нижней и верхней части карты нарушает ее. Зато карта короля червей обладает симметрией вращения. Если повернуть изображение вокруг оси на 180°, оно будет выглядеть так же. Еще один поворот вернет объект в первоначальное состояние. В математике это называется симметрией второго порядка.
Некоторые фигуры могут быть симметричны относительно большего количества поворотов вокруг какой-либо оси. Стороны квадрата симметричны относительно и вертикальной, и горизонтальной оси. У трехмерного объекта — прямоугольного параллелепипеда — каждая из граней обладает зеркальной симметрией. Таким образом, у такого объекта очень много симметрий, каждая из которых — это симметрия второго порядка.
Симметрии второго порядка математики называют дискретными симметриями, так как они работают только на конечном количестве шагов. А вращение сферы на любой угол вокруг оси, проходящей через ее центр, дает симметрию, но если повернуть сферу на 360°, то все пространство окажется инвариантным.
Симметрия пространства
Симметрию объекта в пространстве можно представить и увидеть. Но есть и более абстрактное понятие симметрии — это симметрия свойств различных пространств, которые мы изучаем в математике. Два века назад математик Феликс Клейн предложил определять геометрию через симметрию.
Есть два важных свойства симметрии пространства, которые связаны с трансформациями, — это однородность и изотропность.
Однородность — математический термин, который означает равенство всех точек. Вселенная однородна, если воспринимать ее как скопление бесконечно мелких пылинок — галактик. Однородность Вселенной проявляется в том, что она инвариантна при параллельном переносе в заданном направлении на определенное расстояние.
Изотропность — это равенство всех направлений во Вселенной. То есть Вселенная инвариантна при вращениях вокруг некоторой оси на заданный угол. Значит, нет разницы между верхом и низом, правой и левой стороной, куда бы мы ни смотрели.
В симметрии всегда есть разница между относительным и инвариантным, абсолютным. Симметрия — это то, что не меняется, но могло бы, что могло быть относительным, но на самом деле абсолютно.