Если вы думаете, что спутники определяют координаты GPS-навигаторов и передают их на землю, то вы ошибаетесь. На самом деле спутники непрерывно передают на землю свои координаты, а GPS-трекеры по ним вычисляют свои.
Чтобы навигатор мог вычислить по данным со спутника свои координаты, он должен получить время излучения сигнала t1 вычесть его из времени приема t2 и умножить получившуюся разность на с – скорость света. Таким образом получится r=c(t2-t1) расстояние от навигатора до спутника. Разумеется время на спутнике и навигаторе должно быть синхронизировано.
Для того, чтобы определить координаты навигатора, в идеальном случае (когда расстояния от навигатора до спутников известны с абсолютной точностью) нужны три таких расстояния до трех спутников.
В реальности используют 4 или больше, поскольку расстояния вычисляются с ошибками, в частности из-за погрешностей встроенных в приемник часов. Принцип определения координат проще всего объяснить, используя двумерный, плоский случай, а потом обобщить его на трехмерный.
Найдем полярные координаты r и φ навигатора на окружности по известным координатам двух спутников. Расстояния от спутников до навигатора GPS-приемник определил как r1=c(t2-t1) и r2=c(t2-t1), их полярные углы φ1 и φ2 получил в пришедшем сигнале. Таким образом, расстояния до спутников r1 и r2 и их полярные углы φ1 и φ2 известны. Тогда наглядно, без формул положение навигатора можно определить следующим образом. Проведем радиусами r1 и r2 окружности с центрами в точках расположения спутников.
Получим две точки пересечения. Понятно, что точка пересечения окружностей высоко над землей это паразитный результат, он отбрасывается. А точка пересечения окружностей рядом с землей и даст координаты навигатора.
А если с формулами, то тогда по теореме косинусов из двух треугольников:
Два уравнения, две неизвестные, система разрешима. Координаты r и φ навигатора легко вычисляются.
Для трехмерного случая нужно искать точки пересечения трех сфер. Их так же будет две, одна из которых паразитная, а другая настоящая.
Но это еще не все. Согласно специальной и общей теории относительности время течет по-разному в разных системах отсчета. Для быстродвижущегося тела оно замедляется, а для тел вдали от массивных объектов ускоряется. Поэтому на орбите и на земле время течет по-разному. Для наручных часов и вообще для людей это различие не играет никакой роли. А вот для точного позиционирования имеет. Поэтому в значение времени на часах спутника вносят поправки, согласно теории относительности Эйнштейна.