Многие в школе при решении математических уравнений или неравенств, часто слышали, что учитель начинает объяснение решения с фразы: "Пишем ОДЗ". А никто не задавался вопросом: "Зачем?" Когда я задаю этот вопрос своим ученикам ответ как правило один: "Так учитель сказал." Крайне редко слышу ответ: "Чтобы отбросить ненужные решения."
Обычно в школах учителя под ОДЗ (хотя правильно говорить ОДЗП - область допустимых значений переменной или переменных) понимают множество значений переменной при которых определено уравнение/неравенство.
Но как известно любое уравнение (переносом с противоположным знаком) может быть сведено к виду
f(x)=0,
а неравенство к виду
f(x)>0 или f(x)>=0
и тогда ОДЗ(П) - это область определения функции f(x) - четкий математический термин. Поэтому зачем придумывать что-то новое.
А область (допустимых) значений функции f(x) - это образ области определения при применении функции f(x).
Ну это так лирическое отступление.
Почему же все таки не надо искать ОДЗ и как решать уравнения/неравенства?
Сначала приведем типовые ОДЗ:
Теперь отвечу почему не нужно искать ОДЗ(П):
1. Потратите время на поиск, а ОДЗ(П) не понадобиться
2. Потратите время на проверку вхождения полученного решения в ОДЗ(П)
3. В процессе решения могут появится новые ограничения на значения переменных.
4. Сложно делать проверку решения неравенств на вхождения в ОДЗ(П)
Теперь рассмотрим конкретные уравнения и неравенства, в которых нахождение ОДЗ(П) приведет к потере времени и сил, но не даст конечного результата.
Так как же решать уравнения/неравенства:
Существует только один универсальный способ решения уравнения неравенств (без параметров) - метод равносильных преобразований. Преобразования или переходы называются равносильными, если области решений уравнения/неравенства совпадают.
Ниже несколько примеров равносильных преобразований
ВЫВОД:
Существуют следующие пути решения уравнения/неравенств:
1. "Пишем ОДЗ" всегда. Почему он плох я написал выше, но иногда может и сработает.
2. "Находим ОДЗ, но не во всех случаях". Тогда вопрос когда пишем, а когда нет.
3. Равносильные преобразования. Единственный универсальный метод решения. Разумеется хорошо, чтобы ученик не только выучил сами равносильные преобразования, но и понимал их "природу" и мог вывести при необходимости, исходя из свойств функций в уравнении/неравенстве. Именно этим универсальным и несложным методом обучают в ведущих математических школах страны.