Сегодня у нас урок математики! Давно школу закончили? Попробуем на примере разобрать несколько нехитрых расчетов. Узнаем в чем отличие алгебраической и геометрической суммы и разности, а также на примере посмотрим к каким ошибкам в представлении сове инвестиционной деятельности это может привести.
Простейшая математика - что должен знать каждый инвестор
Для начала давайте вспомним, что такое капитализация процентов - тот самый сложный процент, благодаря которому мы богатеем день ото дня!
Капитализация процентов
Предположим, что у нас есть 300 руб. и мы вложили их под ставку 10% годовых. Тогда через года мы получим: 300 + 300 x 10%
Преобразуем наши 10% в числовое значение, разделив на 100:
300 + 300 х 0,1
Вспоминаем математику и выносим наши 300 руб. за скобку - получаем следующую запись: 300 х (1 + 0,1)
Так вот значение в скобках - (1 + 0,1) - называется мультипликатором. Обозначим его для простоты латинской буквой k.
Теперь давайте запишем какова будет наша доходность за n лет. Для этого мы умножим сумму наших первоначальных вложений на столько таких же скобочек, за сколько лет нам нужно посчитать доходность: 300 х (1 + 0,1) х (1 + 0,1) х ... х (1 + 0,1)Мы с вами можем упростить эту формулу и получить формулу доходности от вложения нашего капитала в следующем виде:
Считаем доходность инвестиций за n периодов
Если бы мы вкладывали деньги в банк, тогда бы у нас была постоянная доходность и соответственно постоянный мультипликатор k. Но мы с вами занимаемся инвестициями и доходности от года к году будут разниться. Поэтому для инвестиций доходность за n периодов будет равна:k1 x k2 x k3 x ... x kn - 1
Подобная запись и называется геометрической суммой доходности за n периодов.
Давайте на примере разберем зачем нам оно вообще надо.Предположим, что в первый год мы получили доходность +350% а за второй год мы получили убыток в -80%. Теперь давайте подведем итоги и посчитаем алгебраическую и геометрическую сумму наших результатов:
Алгебраическая сумма: 350 - 80 = 270%
Геометрическая сумма: (1 + 3,5) х ( 1 - 0,8) - 1 = -10%
Вот такая занимательная математика получается. Поэтому инвестору, который считает свою доходность за какое-то количество периодов, необходимо использовать геометрическую сумму, а не алгебраическую.
Считаем среднегодовую доходность
Чтобы посчитать среднее геометрическое нам нужно взять корень n-ой степени из нашей доходности. Если рассматривать пример выше, тогда у нас получается два периода, значит будем брать корень второй степени из выражения доходности:
Алгебраическое среднее: 135%
Геометрическое среднее: -5,13%
Арифметическая и геометрическая разность
Чтобы понять какова наша реальная доходность от вложений мы должны из полученной доходности вычесть инфляцию за тот же период. И здесь мы опять сталкиваемся с выбором как вычитать - алгебраически или геометрически?
Геометрическая разность представляет собой деление. Все расчеты производятся по аналогии с геометрической суммой, только умножение заменяем на деление. Сейчас на примере все станет понятнее.
Представим себе ситуацию, что инфляция за какой-то период составила 133%, а доходность наших инвестиций за тот же период составила всего 27%. Посчитаем реальную доходность алгебраическим и геометрическим путем.
Алгебраическая разность: 27% - 133% = -106%.
Странная ситуация. Получается что мы не только потеряли 100% инвестированного капитала, но еще и остались должны! Теперь посчитаем правильным способом.
Геометрическая разность: -45,49%
Это уже более похоже на правду, ведь инфляция в принципе не может "отнять" у нас деньги. Она может сделать их дешевыми и снизить их покупательскую способность.
Я думаю на примерах, которые тут привел стало понятно, почему при расчетах своей инвестиционной доходности нужно использовать геометрические суммы, разности и средние.