Сначала отвечу на второй вопрос. С одной стороны, не имеют. По общему правилу, действующему в международном праве, высшие должностные лица государств, крупные чиновники, дипломаты и т.п. обладают неприкосновенностью (иммунитетом) от ареста, задержания, юридического преследования, ответственности и т.п. на территории другого государства. За совершение крупного правонарушения такое лицо объявляется персоной non grata (нежелательная персона) и понуждается к высылке на родину. Кроме того, В.В. Путин не совершал (и вряд ли совершит) на территории США правонарушения. В связи с этим "судить" его не за что. С другой стороны, в некоторых странах могут придерживаться доктрины универсальной юрисдикции - концепции, согласно которой лицо может быть судимо даже за те преступления, которые оно совершило на территории другой страны (в том числе и своей). В США, насколько мне известно, эта доктрина практикуется. Однако число преступлений, за которые могут привлекать к юридической ответственности в рамках универсальной юрисдикции, весьма и весьма ограниченно: пиратство, геноцид, развязывание и ведение агрессивной войны, военные преступления, преступления против человечности и т.п. Как бы то ни было, вменить В.В. Путину такие преступления США вряд ли смогут.
С чисто политологической точки зрения, очевидно, что если бы США всё же пошли на такой шаг (арест, как указано в вопросе), то неизбежно последовал вооруженный конфликт, вызванный попыткой освободить В.В. Путина вооруженными силами РФ. А, может быть, всё закончилось ядерной войной)