Этот канал в первую очередь будет интересен школьникам, которые собираются сдавать ЕГЭ по профильной математике. В современном мире очень много качественных материалов, которые помогают в подготовке к этому экзамену. Сегодня я решил создать свой канал на котором буду публиковать обучающие статьи, чтобы научить решать вас задачи разных типов. Помимо этого на канале также будут публиковаться статьи о различных математических проблемах и биографии выдающихся математиков.
В первых статьях я покажу откуда выводятся многие тригонометрические формулы. В школах часто опускают вывод этих самых формул и заставляют их просто зубрить. Мне не нравится такой подход, так как у человека даже не возникает понимания элементарных вещей и взаимосвязи этих самых элементарных вещей. Ты легко можешь забыть вызубренную формулу, но ты можешь помнить общую концепцию, как ее получить, и в конечном итоге ты выведешь ту самую формулу, которая тебе необходима.
Основное тригонометрическое тождество
Основное тригонометрическое тождество - соотношение выше, выполняющееся для произвольного значения угла α.
Основное тригонометрическое тождество представляет собой запись теоремы Пифагора для треугольника в тригонометрическом круге; длины катетов этого треугольника по модулю равны соответствующим синусу и косинусу, а гипотенуза, будучи радиусом тригонометрического круга, равна единице.
А вы это знали? Многие мои бывшие одноклассники были не в курсе этого.
Следствия из основного тригонометрического тождества
Путем деления на:
Получим:
Формулы сложения и вычитания аргументов
Отложим на тригонометрической окружности произвольные 2 точки. Обозначим их A и B, центр окружности обозначим O.
Пусть точка A имеет координаты (cos(α), sin(α)), точка B координаты (cos(β), sin(β))
Так как cos(x) функция чётная, то есть cos(-x)=cos(x), формула работает и при α≥β, и при α<β.
Подытожим, cos(α-β)=cos(α)*cos(β)+sin(α)*sin(β)
Как же из этого получить cos(α+β)? Да очень просто, запишем это как cos(α-(-β), это равно (см. формулу выше) cos(α)*cos(-β)+sin(α)*sin(-β), мы уже выяснили что cos(x) функция чётная, поэтому cos(-β)=cos(β), а функция sin(x) функция нечётная, то есть sin(-β)=-sin(β). Учитывая это окончательно получаем: cos(α+β)=cos(α)*cos(β)-sin(α)*sin(β)
Теперь перейдём к формулам синуса суммы и разности. Получить их ещё легче:
sin(α+β)=cos(π/2-(α+β))=cos((π/2-α)-β)=cos(π/2-α)*cos(β)+sin(π/2-α)*sin(β)=sin(α)*cos(β)+cos(α)*sin(β)
sin(α-β)=sin(α+(-β))=sin(α)*cos(-β)+cos(α)*sin(-β), и опять же в силу чётности, нечётности получаем: sin(α)*cos(β)-cos(α)*sin(β)
Тангенс суммы/разности:
Для того, чтобы получить эти формулы, достаточно знать, что тангенс - это отношение синуса к косинусу.
Для получения tg(α-β) используется аналогичной приём тому, что использовался ранее. Для ctg(α+β) и ctg(α-β) формулы получаются таким же путём что и для tg(α+β), tg(α-β).
В следующей статье поговорим о формулах двойного/тройного/половинного угла, о формулах понижения степени. Пишите свои пожелания и критику в комментарии.
Спасибо за прочтение!