Математика буквально кишит всякими интересными объектами. Подчас они настолько необычны, что удивляешься, как такое вообще можно было придумать. Почти все такие объекты не имеют практической пользы, однако являются важными примерами и контрпримерами, помогающими в теоретических исследованиях различных абстрактных вопросов. Сегодня мы рассмотрим один из таких примеров, а именно канторово множество.
Если следовать оригинальному изложению Георга Кантора, то это множество является счётным декартовым произведением двуточечного дискретного топологического пространства. Но мы с Вами далеко в такие дебри залезать не будем, а рассмотрим конкретное представление данной сущности, как некоторое подмножество отрезка [0; 1]. Что ж, начнём построение. Этот процесс носит итеративный характер.
Рассмотрим единичный отрезок вещественной прямой. Это будет нулевая итерация. Обозначим это множество С0. Теперь вырежем из него среднюю треть, то есть интервал (1/3; 2/3). Получим множество С1, состоящее уже из двух отрезков, а именно: [0; 1/3] и [2/3; 1]. Теперь вырежем средние трети двух оставшихся отрезков: интервалы (1/9; 2/9) и (7/9; 8/9). Оставшиеся точки обозначим за С2. Оно состоит уже из четырёх отрезков: [0; 1/9], [2/9; 1/3], [2/3; 7/9] и [8/9; 1]. Думаю, что мы делаем дальше, уже ясно: вырезаем средние трети оставшихся отрезков, получая тем самым множество С3. Таким образом, множество Сn состоит из отрезков, полученных путём отбрасывания средних третей частичных отрезков, из которых состоит множество С(n - 1). Канторовым множеством же мы назовём то, что останется после счётного числа данных шагов. Говоря математическим языком, это пересечение всех множеств Сn. Обозначим его за С. Что же это за множество?
И не осталось почти ничего
Почти все множества на числовой прямой обладают такой характеристикой как длина. Вообще, даже такую простую характеристику можно вводить несколькими способами (см. мера Жордана и мера Лебега, например).
Однако какой бы способ вы не выбрали, суть этой характеристики одна и та же: её можно воспринимать как меру того, насколько много "места" множество занимает на прямой. Длина является величиной неотрицательной (что логично). Кроме того, длина объединения двух непересекающихся множеств равна сумме их длин (это тоже логично). Основные отличия в определении длины кроются в её взаимоотношениях с бесконечностью. Так, длина по Жордану счётного объединения непересекающихся множеств может просто-напросто не существовать, в то время как длина по Лебегу сохраняет свойство аддитивности даже для счётного объединения множеств. Самое главное, что множество, которое имеет длину в смысле Жордана, также имеет и длину в смысле Лебега, причём эти длины совпадают.
В рамках нашего исследования мы будем неявно использовать стандартную Лебегову меру (в дальнейшем мы будем просто говорить "длина"). Что это за зверь такой? В рамках этой меры длина отрезка [a; b] равна b - a (что в принципе вяжется с интуицией), длина точки, как это и ожидается, равна нулю. Кстати, из этих двух фактов напрямую следует, что длина интервала (a; b) также равна b - a. В таком случае давайте выясним, какова длина канторова множества. Изначально отрезок имел длину 1. Затем он лишился одной трети своей длины, потом ещё двух девятых, далее ещё четыре двадцать седьмых... Вообще, при переходе от множества С(n - 1) ко множеству Cn мы вырезаем 2^(n - 1) интервалов, длина каждого из которых равна 1/(3^n). Давайте просуммируем эти длины по n от единицы до бесконечности:
Здесь мы воспользовались известной формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Выходит, что длина того, что осталось после построения канторова множества, равна нулю. То есть мы взяли и выбросили весь отрезок. Или нет?
Но кое-что осталось
Итак, есть ли хоть одна точка в С? Ну, думаю, ясно, что, если бы это было не так, то разговаривать о таком множестве было бы не интересно. Действительно, например, ни на одном из шагов мы не выбросили из отрезка точки 0 и 1, да и 1/3 с 2/3, очевидно, также остались на месте. Вообще, если присмотреться внимательно, то окажется, что в канторовом множестве лежат все концы вырезанных интервалов, ведь мы их просто не могли вырезать, выбрасывая средние трети отрезков. Все такие точки называются точками канторова множества первого рода. В одной из моих предыдущих статей мы довольно подробно рассматривали вопрос о том, что такое счётное множество и множество мощности континуум, поэтому теперь мы можем с уверенностью сказать, что множество точек канторова множества первого рода счётно. Показать это достаточно просто. Вновь рассмотрим процесс построения множества С. На n-ом шаге появляется конечное число новых точек первого рода, а именно 2^n. Это означает, что мы можем провести сквозную нумерацию, то есть сначала по порядку (например, слева направо) занумеровать точки, появившиеся на первом шаге (это точки 1/3 и 2/3), потом, продолжая нумерацию, пересчитать точки, появившиеся на втором шаге (1/9, 2/9, 7/9 и 8/9), и так далее. В конце концов, мы сможем пересчитать все точки первого рода, что и означает их счётность. Вот тебе и раз! Выкинули почти весь отрезок, а осталось ещё бесконечно много точек. То ли ещё будет.
Как это ни удивительно, но точками первого рода канторово множество не ограничивается. Давайте посмотрим на точку 0.25, она же 1/4. Изначально она делила отрезок [0; 1] в отношении 1 к 3. Затем мы вырезали из отрезка среднюю треть, и точка 0.25 попала в отрезок [0; 1/3], который она уже делила в отношении 3 к 1 (это нетрудно проверить). На втором этапе построения после того, как мы выкинем интервал (1/9; 2/9), наша одна четверть окажется внутри отрезка [2/9; 1/3] и будет делить его вновь в отношении 1 к 3. Нетрудно заметить, что ситуация будет повторяться из раза в раз: рассматриваемая точка будет всегда находиться в каком-то из оставшихся отрезков, причём делить она его будет либо в отношении 1 к 3, либо в отношении 3 к 1. Для этого достаточно увидеть, что для любого n каждый из частичных отрезочков множества Сn сам проходит через все этапы построения канторова множества (действительно, мы ведь из него вырезаем средний интервал, а потом средние интервалы из оставшихся отрезков), то есть в конечном счёте сам становится уменьшенной копией С. Выходит, если точка, делившая единичный отрезок в отношении 1 к 3, через два этапа построения делит один из его частичных подотрезков (назовём его [a; b]) также в отношении 1 к 3, то можно рассматривать этот частичный отрезок в отрыве от всего остального множества и продолжить построение, тогда ещё через два этапа эта же самая точка будет делить какой-то из ещё меньших частичных подотрезков отрезка [a; b] также в отношении 1 к 3. И так до бесконечности. Но ведь мы вырезаем лишь средние трети, выходит, 0.25 никогда не будет удалена и в итоге попадёт в канторово множество. Отметим, что она также не является концом никакого из вырезанных интервалов, потому что все такие концы имеют вид m/(3^n), где m и n — натуральные числа, 1/4 уж никак под такое определение не подходит. И вот он, наш первый представитель точек канторова множества второго рода, иными словами тех точек, что не являются точками первого рода. Такой представитель не единственен, вот другие члены этого доблестного скрытного отряда: 1/12, 11/12, 25/36 (внимательный читатель поймёт, что причина, по которой эти точки здесь перечислены, ровно та же, по которой мы упомянули одну четверть). Эти точки, будто партизаны в засаде: мы не натыкались на них при построении, мы нещадно выкидывали их, освободив почти всё место, занимаемое отрезком, а они всё ещё здесь. Так сколько же их?
Осталось столько же сколько и было
Чтобы ответить на поставленный выше вопрос, давайте пустим так, как обычно делают все математики: решим более общую задачу. А именно выясним, какова мощность канторова множества? Сперва вспомним занимательный факт: множество всех двоичных последовательностей имеет мощность континуума. К чему я это? Я предлагаю построить изоморфизм (отображение один к одному) между канторовым множеством и множеством таких последовательностей. Делать это мы будем так. Зафиксируем любую точку х канторова множества и начнём строить последовательность из нулей и единиц. Вначале рассмотрим первый этап построения множества С. На этом этапе х должна была попасть либо в левый, либо в правый подотрезок множества С1. Если она оказалась в левом, то запишем 0 в последовательность, иначе запишем 1. Далее перейдём к рассмотрению выбранного отрезка. На следующем этапе из него будет выкинута средняя треть, и он превратится в два отрезка. Если точка х оказалась в левом из них, то допишем в последовательность 0, иначе 1. Затем мы перейдём к следующему отрезку и следующему этапу. В итоге, спустя счётное число шагов мы получим некоторую двоичную последовательность, её-то мы и сопоставим точке х.
Ясно, что это сопоставление взаимно однозначно, потому как, зная последовательность из нулей и единиц в нашей кодировке, мы сможем выудить (и притом однозначно) точку из канторова множества. И вот мы пришли к поистине ошеломляющему результату: канторово множество имеет мощность континуума. Иными словами, оно равномощно исходному отрезку [0; 1], из которого мы, как мне помнится, выкинули почти всё, оставив лишь "небольшую" часть длины ноль! Выкинули всё, а осталось столько же. Вот тебе раз! Более того, большинство точек мы вообще даже не рассматривали при построении, думая, что избавляемся от них: континуальную мощность составляют именно наши "партизаны", точки второго рода (ведь точек первого рода всего счётное число). Вот тебе и два!
Теперь становится примерно ясно, почему сам Кантор вводил своё множество как счётную декартову степень двуточечного дискретного топологического пространства. Если забыть о страшных словах "дискретного", "топологического" и "пространства", то окажется, что Кантор определял своё детище как множество двоичных последовательностей (счётная декартова степень двуточечного множества { 0, 1 }). И как мы только что выяснили, с точки зрения множеств (без учёта всяких "топологий") это действительно один и тот же объект (также как, например, и сам отрезок [0; 1]). Давайте поподробнее разберёмся в некоторых "топологических" свойствах нашего множества С.
Совершенное решето
Одним из самых главных топологических понятий является понятие окрестности. В рамках этой статьи под окрестностью некоторой точки мы будем понимать любой интервал, включающий в себя эту самую точку. Зная, что длина точки равна нулю, мы можем сказать, что любая точка имеет сколь угодно малую окрестность (достаточно взять интервал с центром в ней длины 1/n, например). Если длина — это характеристика того, сколько места занимает множество, то с помощью окрестностей мы можем описать, как плотно множество занимает своё место. Эту характеристику множества отражают сразу два понятия: предельные точки и, собственно, плотность множества.
Предельными мы назовём те точки, вокруг которых собирается наше множество. Говоря конкретнее, точка называется предельной, если в любой (в том числе и сколь угодно малой) её окрестности найдётся бесконечное число точек нашего множества. Например, для единичного отрезка любая его точка является предельной (кто не верит, пусть проверит), а для множества натуральных чисел предельных точек не существует, потому что любое натуральное число окружено интервалом длины 2, свободным от других натуральных чисел. Любая точка интервала (а; b) также предельная, однако помимо этого точки a и b также являются таковыми хотя в само рассматриваемое множество они не входят, то есть предельные точки могут не являться элементами множества. Те множества, которые состоят из всех своих предельных точек и только из них называются совершенными. В них нет изолированных элементов (как, например, во множестве натуральных чисел), при этом предельных точек вне таких множеств также не существует. Поэтому, например, отрезок является совершенным множеством, а вот интервал — уже нет.
Множество А называется плотным во множестве В, если любая окрестность любой точки из множества В содержит в себе элемент из множества А. Иными словами, плотность А в В означает, что точки множества А очень близко подходят ко всем точкам множества В. Так, например, любое множество плотно во множестве своих предельных точек (это следует из определения). Другой замечательный пример: рациональные числа плотны в вещественных. Действительно, если х — любое вещественное число, то рациональное число, полученное из х путём отбрасывания всех цифр после n-го знака после запятой, будет лежать в его окрестности длины не более, чем 2/(10^n). Если же множество не плотно ни в одном интервале, то его называют нигде не плотным. Другими словами, если множество нигде не плотно, то какую бы окрестность какой угодно точки вещественной прямой мы не рассмотрели, внутри этой окрестности всегда найдётся целый интервал, свободный от точек нашего множества. В некотором смысле такие множества являются "решетом" с кучей "дырок", оно просто не может содержать внутри себя хоть какой-то целый интервал. Типичный представитель: натуральные числа. Кажется, что нигде не плотное множество не может иметь предельных точек, однако это не правда.
Теорема: канторово множество является совершенным нигде не плотным множеством.
Доказательство: вспомним про свойство самоподобности множества С. Если рассмотреть какой-либо из частичных отрезков любого из множеств Сn, то он сам спустя счётное число шагов станет уменьшенной копией канторова множества. Это, в частности, означает, что в нём будет содержаться континуум элементов. Рассмотрим любую точку х∈ С и зафиксируем любую её окрестность произвольно малой положительной длины. Будем считать, что минимальное из расстояний между х и концами этой окрестности равно ε. Заметим, что эта величина также положительна. Если вспомнить, как мы строим множества Сn, то станет ясно, что длины остающихся отрезков становятся всё меньше и меньше (они в конце концов совсем исчезают). Значит, начиная с некоторого номера, длина каждого из них станет меньше числа ε. Пусть этот номер равен N. С другой стороны, по определению множества С точка х лежит в каждом из множеств Сn, а значит, найдётся такой отрезок множества CN, в который попадёт х. При этом длина такого отрезка меньше, чем расстояние от х до концов рассматриваемой окрестности, выходит, что весь отрезок будет лежать внутри данной окрестности.
Спустя счётное число шагов этот отрезок сам превратится в уменьшенный вариант канторова множества и будет содержать бесконечно много элементов (а именно, континуум), то есть в нашей окрестности найдётся бесконечно много элементов множества С. Итак, любая точка множества С, является его предельной точкой. Остаётся показать, что других предельных точек не существует. Действительно, если взять любую точку у∉ С, то она обязана на каком-то из этапов построения быть выкинута, то есть должна попасть в один из вырезанных интервалов. Но тогда данный интервал будет являться её окрестностью, полностью свободной от точек множества С, что напрямую вступает в конфликт с определением предельной точки, выходит, точка у, не может быть предельной.
Итак, канторово множество совершенно. Остаётся доказать, что оно нигде не плотно. Если рассматривать точки у∉ С, то ясно, что любая их окрестность будет содержать внутри себя целый интервал, свободный от точек С (такой интервал будет всегда частью той вырезанной трети, куда на одном из этапов построения попала наша точка у). Если же рассматривать точки х∈ С, то, как мы помним, в любую их окрестность на каком-то из этапов построения попадёт частичный отрезок множества Сn. На следующем этапе из этого отрезка будет вырезан средний интервал, это и есть тот самый свободный от точек множества С интервал из определения нигде не плотного множества. В итоге, для любой точки вещественной прямой в любой её окрестности найдётся интервал, полностью свободный от точек канторова множества. Этот факт завершает доказательство.
Таким образом канторово множество, в каком-то смысле, весьма плотное, но, с другой стороны, максимально неплотное. Звучит довольно парадоксально, но это факт. Его точки лежат очень близко друг к другу, однако ни один интервал целиком оно не покрывает.
И напоследок...
Можно очень долго перечислять странные свойства множества С. Однако это потребует некоторого более глубокого изучения топологии и математического анализа. Вместо этого я хотел бы поговорить вот о чём: является ли правдой тот факт, что, если множество имеет положительную длину, то оно всегда содержит внутри себя полностью некоторый интервал? На первый взгляд, ответ, очевидно, да: не будь внутри нашего множества хоть одного интервала, оно бы состояло лишь из набора точек с "пробелами" между ними. Канторово множество тому типичный пример: оно нигде не плотно и его длина ноль. Даже тот факт, что оно совершенно не спасает ситуацию: ни один интервал оно полностью не покрывает. Но давайте мы провернём следующий трюк.
Снова возьмём отрезок [0; 1] и снова начнём выкидывать из него средние части, вот только на этот раз мы будем выбрасывать не трети. Сначала мы выбросим среднюю четверть, затем из каждого полученного отрезка выкинем средние интервалы длины 1/16, на следующем шаге мы будем уже выбрасывать средние интервалы, длина которых равна 1/64. И вообще на каждом n-ом шаге из полученных отрезков мы будем вырезать средние интервалы длины 1/(4^n). На этот раз мы выкинем из множества интервалы суммарной длины 1/2:
Это означает, что длина остатка положительна и равна 1/2. Однако для этого множества доказанная выше теорема также верна, поскольку в ней нигде не используется размер тех интервалов, которые мы вырезаем (главное, чтобы они имели положительную длину). Вот Вам и пример множества, не содержащего ни одного интервала, но имеющего положительную длину.
С эти фактом я оставляю Вас наедине. Спасибо за внимание!