Чтобы получить числа Фибоначчи
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...,
вовсе не обязательно разводить кроликов, как это предлагал сам Леонардо Пизанский. Его числа появляются и в других задачках. Главное, чтобы выполнялся принцип "сложи два числа в последовательности и получишь следующее". Первыми двумя числами могут быть 1 и 1, или 1 и 2, или даже 2 и 3 — это непринципиально.
Почти все задачи в этой статье приводят к числам Фибоначчи, но не все. Какие не приводят? И знаете ли вы другие способы увидеть Фибоначччи?
1. Переходим эту реку вброд.
Через реку нет моста, но зато через нее можно переправиться по цепочке из N камней. Корней умеет прыгать с одного камня на следующий, и даже может через один перескочить. Через два перескочить уже не получится — слишком далеко. Например, если камней пять, то Корней может переправиться, наступая на такие камни: 1, 3 , 5. Или на такие: 1, 2, 4, 5.
При каждом N посчитаем, сколькими способами (скажем, F(N)) можно переправиться через реку. Похоже, что это последовательность Фибоначчи.
2. Эффект домино.
У Корнея есть много прямоугольников размером 1х2, и он выкладывает из них дорожку размером 2хN. Сколько есть способов выложить дорожку прямоугольниками? F(N) — похоже, что это тоже последовательность Фибоначчи.
3. Фибоначчи на даче
У Корнея на даче от дома к калитке ведет дорожка из N шестиугольных плиток, выложенных в два ряда. По дорожке можно пройти, ступая каждый раз на соседнюю плитку и продвигаясь к выходу; на КАЖДУЮ плитку наступать не обязательно. Тоже можно посчитать число способов пройти из дома к калитке, F(N). Видимо, опять получится последовательность Фибоначчи.
4. Цветные браслеты
У Корнея есть бусинки синего и зеленого цвета. Синие бусины отталкиваются друг от друга, и поэтому их невозможно расположить рядом, а зеленые помещаются как угодно. Корней считает, сколько разных браслетов можно собрать из N бусинок. Кажется, что опять получается последовательность F(N) — Фибоначчи.
5. Фибоначчи встречает Паскаля.
Это, наверное, самый простой способ получить последовательность Фибоначчи. Надо просто взять треугольник Паскаля, провести в нем подходящие параллельные линии и посчитать суммы чисел вдоль линий.
6. Только для богатых
У Корнея есть гора рублевых и двухрублевых монет. Он выкладывает их разными способами в цепочку стоимостью N рублей. Число способов F(N), похоже, опять дает последовательность Фибоначчи.
7. Неотразимый
Корней положил одну стеклянную пластинку на другую и следит за лучом света, который может отражаться от поверхности стекла, а может пройти насквозь. Только от самой верхней поверхности луч не отражается. Корней считает число разных траекторий луча, если по дороге тот отражается N раз. И опять ему кажется, что число траекторий F(N) тоже образует последовательность Фибоначчи.
Правда ли, что во всех семи случаев получаются последовательности Фибоначчи? Или все-таки есть исключения?
Наверное, можно считать Фибоначчиевыми и
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ..., и
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ..., и даже
2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...,