Математика — очень интересная и необычная наука. Объекты, описываемые ею, порой невозможны в реальном мире (я бы даже сказал, что в большинстве случаев они являются лишь умозрительными конструкциями). Однако именно с помощью таких объектов строятся теории, описывающие процессы в физике, химии, биологии.
В этой статье мне хотелось бы поговорить о бесконечности. Одним из первых данную тематику развил выдающийся математик Георг Кантор — отец-основатель теории множеств.
Именно он впервые показал, что бесконечность бесконечности рознь, построив некоторые шкалы таких "бесконечностей", которые сегодня называются кардинальными и ординальными числами. Данное открытие было настолько парадоксальным, что в своём письме Дедекинду (не менее известному и великому математику) Кантор писал: "Я это вижу, но я этому не верю". Так что же придумал Кантор?
Первым делом нам необходимо выяснить, что же вообще такое "множество". Проблема состоит в том, что это понятие аксиоматично (также, как, например, понятие точка в геометрии). В рамках нашего мини-исследования мы будем считать, что множество — это некоторая совокупность объектов, называемых элементами множества. Так, например, все люди на Земле являются множеством, как является множеством совокупность всех волос на Вашей голове. Также множеством являются все точки отрезка на прямой или числа, кратные девяти. С точки зрения житейского опыта намного сложнее придумать пример НЕ множества. И всё-таки такие совокупности есть, например, совокупность всех множеств множеством не является (см. парадокс Рассела). Но об этом мы сейчас говорить не будем. Вообще, сразу скажу, что все совокупности, рассматриваемые далее, являются множествами, если не оговорено обратное.
Коль скоро мы имеем множество, то мы можем сказать, сколько элементов в этом множестве содержится. Так, например, во множестве пальцев у меня на руках содержится 10 элементов, множество планет Солнечной системы состоит из 8 элементов (бедный Плутон), а множество натуральных чисел, строго меньших ста, насчитывает 99 элементов. Количество элементов множества называется мощностью множества. Во всех приведённых выше примерах мощность является числом натуральным. И вообще, любое конечное множество имеет своей мощностью некоторое натуральное число. Сомнений данный факт не вызывает. Действительно, коль скоро элементов во множестве конечное число, то мы можем их все занумеровать один за одним в любом порядке натуральными числами. Тогда номер последнего элемента и будет мощностью множества. Казалось бы, что может пойти не так?
Проблемы возникают, когда мы рассматриваем множества бесконечные. Для начала вопрос: какое самое большое натуральное число существует? Ответ, очевидно, никакое. Каково бы ни было натуральное число N, существует всё ещё натуральное число N + 1, большее, чем N. Поэтому множество всех натуральных чисел не может быть конечным. Вот Вам и первый пример бесконечного множества. В некотором смысле это самый главный пример, поскольку натуральные числа — это наименьшее бесконечное множество. Какой смысл я вкладываю в данное утверждение? Представьте себе, что в некоторой коробке лежит бесконечно много яблок. Вот я вынимаю из коробки яблоко, рисую на нём водным маркером число 1 (проще говоря, нумерую его) и откладываю в сторону. Сколько яблок осталось в коробке? Очевидно, всё ещё бесконечно много, так как если удаление одного элемента делает множество конечным, то оно и изначально должно было быть конечным. Тогда я беру из коробки ещё одно яблоко, даю ему номер 2 и также откладываю его в сторону. Сколько яблок осталось в коробке? Всё ещё бесконечно много. Тогда я беру третье яблоко, потом четвёртое, пятое и т.д. Таким образом, я могу вынуть из коробки любое конечное число яблок, и в ней всё ещё останутся яблоки, а значит, я могу вынуть ещё одно яблоко. Ничего не напоминает? (Каково бы ни было натуральное число N найдётся число N + 1...). То есть, в коробке всегда найдётся столько яблок, сколько натуральных чисел существует. Говоря боле формальным языком, в любом бесконечном множестве существует подмножество, имеющее ту же мощность, что и множество всех натуральных чисел. Это и означает, что натуральные числа являются наименьшим бесконечным множеством.
В истории с яблоками мы неявно ввели понятие изоморфности множеств. Математическая суть данного понятия такова: если можно в соответствие каждому элементу одного множества поставить один и только один элемент другого множества, то они изоморфны. В случае с яблоками и натуральными числами поставить в соответствие значило занумеровать (буквально, написать номер на яблоке). Так, у нас каждое вынутое яблоко имело номер и при том единственный. Данное понятие чрезвычайно важно в теории множеств, так как Кантор показал, что множества равномощны тогда и только тогда, когда они изоморфны. К чему это приводит? Ну, например, теперь мы можем строго доказать, что ни одно конечное множество не изоморфно бесконечному. Из менее тривиальных утверждений мы имеем следующий факт: мощности множества натуральных чисел и множества чётных натуральных чисел совпадают. А вот это уже интереснее. Казалось бы, взяв только чётные числа, мы должны уменьшить множество вдвое, а оказывается, что мощность не изменилась. Изоморфизм в данном случае строится просто: каждому натуральному числу n в соответствие ставится чётное число 2n (или в обратную сторону: каждому чётному числу s в соответствие ставится число s/2). Очевидно, что данное соответствие ставит одному числу одно число. Можно пойти чуть дальше и доказать, что всех целых чисел столько же сколько и натуральных. Здесь соответствие можно построить по такому правилу: z = (-1)^n * [n / 2]. Здесь квадратные скобки обозначают взятие целой части, n — натуральное число, z — целое число, в соответствие которому ставится натуральное число n. Так, натуральному числу 2 ставится в соответствие целое число 1, а натуральному числу 13 ставится в соответствие целое число -6. И снова соответствие один к одному. Мы будем называть бесконечные множества, изоморфные натуральным числам, счётными множествами.
О свойствах счётных множеств и парадоксах, возникающих при работе с ними, (которые парадоксами и не являются) мы поговорим как-нибудь потом. А сейчас попытаемся поразмыслить вот над чем: существуют ли несчётные бесконечные множества? Вопрос интересный, но для ответа на него нам необходимо сделать некоторое отступление. Мы уже примерно понимаем, что такое множество. Также мы уже успели неявно ввести понятие подмножества, то есть совокупности некоторых элементов множества (всех или не всех). Рассмотрим пример: пусть у нас есть множество чисел { 0, 1, 2 }. Какие подмножества у этого множества существуют? Давайте их перечислим: прежде всего это одноэлементные подмножества ( { 0 }, { 1 } и { 2 } ), затем двуэлементные ( { 0, 1 }, { 1, 2 } и { 0, 2 } ), а кроме того, всё множество (это же тоже совокупность элементов множества) и пустое множество (то есть нисколько элементов исходного множества, оно обозначается специальным символом Ø). Итого 8 подмножеств. Заметим, что изначально у нас было 3 элемента, а 8 = 2^3. Можно показать, что для любого конечного множества мощности K существует ровно 2^K его подмножеств. Как вы уже поняли, все подмножества множества сами образуют множество. Оно называется степенью или булеаном множества. Булеан множества A обозначают либо через P(A), либо через 2^A (отмечу, что это только обозначения, никакого другого смысла запись 2^A не несёт). Ясно, что булеан конечного множества не может быть равномощен исходному множеству (количество элементов в них различно), более того, он всегда мощнее. А что насчёт бесконечных множеств? Мы уже понимаем, что с бесконечностями нужно вести себя аккуратно. Это понимал и Кантор, поэтому он строго доказал следующую теорему:
Теорема (Кантор): булеан любого множества мощнее исходного множества.
Доказательство: допустим, что утверждение теоремы ложно и существует такое множество A, что Р(А) равномощно (изоморфно) А. Тогда найдётся взаимно однозначное соответствие между элементами А и Р(А). Будем обозначать это соответствие символом f, таким образом, если a∈ A (а является элементом А), то f(a)∈ P(A), то есть является подмножеством А. Для любого элемента а∈ А возможны лишь два варианта: либо он является элементом того подмножества, которому он поставлен в соответствие, либо нет, то есть либо а∈ f(a), либо а∉ f(a). Давайте рассмотрим все те элементы, для которых выполнена вторая альтернатива. Все такие элементы являются некоторой совокупностью элементов множества А, а значит, образуют его подмножество. Обозначим его S. Тогда существует такой элемент s∈ A, что S = f(s). Для элемента s может быть выполнена лишь одна из двух взаимоисключающих альтернатив:
1) s∈ S. То есть s∈ f(s), но это невозможно, так как по определению для любого элемента множества S (в том числе и для s) выполнено обратное условие.
2) s∉ S. То есть s∉ f(s). Но все такие элементы образуют множество S, в таком случае необходимо выполнено условие s∈ S.
Видно, что обе альтернативы приводят к противоречию. Поскольку все переходы были логически обоснованы, значит, неверна исходная посылка, то есть предположение о существовании множества А неверно, а значит, булеан всегда неравномощен исходному множеству. Тогда он либо мощнее, либо менее мощен. С другой стороны, все одноэлементные подмножества являются элементами булеана. В соответствие любому одноэлементному подмножеству можно поставить элемент, из которого оно состоит. Такое соответствие однозначно, выходит, что внутри булеана есть подмножество, которое изоморфно исходному множеству, тогда булеан никак не может быть менее мощным, чем исходное множество, значит, он мощнее.
Достаточно витиеватая теорема, демонстрирующая всю мощь приёма доказательства от противного. Итак, теперь, когда мы вооружены этой теоремой, можно утверждать, что не существует наиболее мощного множества. Какое бы "большое" множество мы не рассмотрели, множество его подмножеств будет мощнее. Именно это утверждение позволяет построить шкалу мощностей множеств или шкалу кардинальных чисел.
Кардинальным числом будем называть объект, обозначающий мощность некоторого множества. При этом будем считать, что изоморфным множествам соответствует одно и то же кардинальное число. Начнём строить шкалу. Вначале будет идти ноль (для пустого множества), затем по порядку все натуральные числа. Так мы построим шкалу, отвечающую мощностям конечных множеств. После этого в шкале идёт кардинальное число, называемое алеф-нуль и обозначаемое символом ℵ с индексом 0 внизу. Оно отвечает счётным множествам. Здесь мы уже были, идём дальше. Мощность булеана счётного множества называется мощностью континуума, ему соответствует кардинальное число алеф (ℵ) (иногда пишут с индексом 1 внизу). Примером множества такой мощности может служить множество вещественных чисел (всевозможных десятичных дробей). Об этом множестве мы поговорим в другой раз. Думаю, алгоритм ясен: далее мы берём булеан множества мощности континуума и обозначаем новую мощность символом алеф-два, и так далее. Эта шкала может быть продолжена сколь угодно далеко. Более того, большинство кардинальных чисел мы не можем построить, используя только операцию перехода к булеану. Что ещё более интересно: совокупность всех кардинальных чисел не является множеством. Но это уже совсем другая история.
