И нет, и да. Всё зависит от того, что вы подразумеваете под квадратным корнем и что вы подразумеваете под меньше.
Наверняка всем известно, что любому положительному действительному числу а будет соответствовать некоторое другое положительное действительное число b, для которых будет справедлива запись а²=b.
И тогда вполне очевидно, что:
Но из школьной математики мы чётко усвоили, что и (-а)²=b. Значит ли это, что мы имеем полное право написать:
И сейчас хочется рассказать, что в среде математиков существует группа отщепенцев. Люди из этой группы хотят, чтобы «корень квадратный» (и любой другой чётный корень) был функцией, которая для каждого задаваемого значения возвращала только один результат, а не плюс или минус одно и того же значения.
Зачем? Понять трудно.
Для людей из этого лагеря корень квадратный из числа имеет только одно значение, положительное (или первичное).
Для таких «математиков» ответ на вопрос будет однозначным. Ведь для них квадратный корень из 25 никогда не может быть меньше квадратного корня из 16, поскольку единственно возможные результаты: 5 и 4.
Самое интересное, они не отрицают, что и а²=b, и (-а)²=b. Оспаривается только какие значения должна принимать обратная функция, т.е. корень квадратный из b.
Но в чистой математике, по-моему, спорить не о чем.
Итак, вернёмся к правильной записи. В строгой форме запись выглядит так:
Итак, учитывая выше сказанное, мы имеем для корня квадратного из 25 два решения -5 и 5, а корня квадратного из 16: -4 и 4.
И вот теперь пришло время разбираться в том, а что мы, собственно, подразумеваем под меньшим?
С точки зрения чистой математики, в отрыве от реального мира, любое отрицательное число меньше любого положительного числа, да и −5<−4.
Так что квадратный корень из 25 может быть легко меньше квадратного корня из 16.
Тем не менее, чистая математика не всегда может быть наиболее подходящим способом описывать реальный мир и определения, какое число «больше» или «меньше».
В таких ситуациях используется другое понятие – абсолютное значение действительного числа. Опять же, со школьной скамьи должна быть знакома запись: |−23| = 23, |5| = 5 и т.п.
Используя это понятие, мы увидим, что:
|±4|= 4 < 5 =| ± 5|
Вы же не будете утверждать, что поднявшись на 4 этажа вверх, вы проедете в лифте большее расстояние, чем спустившись на 5 таких же этажей вниз?
Таким образом, с этой точки зрения, квадратный корень из 25 никак не может быть меньше квадратного корня из 16.
Всегда важен контекст поставленной задачи, ибо без контекста в математике возможно абсолютно всё, и в чём тогда практический смысл?