Категорически приветствую вас в последней части разбора объединенной межвузовской математической олимпиады этого года. Сегодня мы разберем пару действительно сложных задач.
Задача 5. Решением неравенства является объединение нескольких непересекающихся интервалов. Найдите сумму их длин. Если необходимо, округлите ответ с точностью до 0,01.
![Напомним, что через [x] обозначается наибольшее целое число, не превосходящее x.](https://avatars.dzeninfra.ru/get-zen_doc/1654945/pub_5e32a02e6238a74fd5a2a13b_5e32a16f918e770d5f8b4016/scale_1200)
Мы видим перед собой неравенство, в котором 150 множителей сравниваются с нулем. Очевидно, что корнями левой части данного неравенства будут все натуральные числа от 1 до 150 включительно. И если бы у нас не было "непонятных" степеней – задача бы решалась довольно просто.
Давайте разберемся, чем являются наши степени. Воспользуемся подсказкой авторов задачи:
Видно, что между квадратами натуральных чисел степени будут повторять предыдущую степень. А в квадратах натуральных чисел переходить к следующему числу:
Мы знаем, что знак выражения в неравенстве не будет меняться в корнях с четной степенью и будет меняться в корнях с нечетной степенью. Таким образом знак будет меняться, например, в точках x = 1, x = 2, x = 9 и так далее. Знак не будет меняться в точках x = 4, x = 5, x = 150 и так далее.
Попробуем нарисовать числовую ось и решить неравенство методом интервалов:
Исправим ли мы ситуацию, если оставим только точки, в которых меняется знак?
"Подставим" в наше неравенство очень большое число – получим, что крайний правый знак – плюс. Выделим промежутки, на которых будет минус:
Осталось посчитать длины промежутков. Начиная со 143 и до 121 мы имеем 143 - 121 + 1 = 23 числа, а следовательно 23 смены знака. Поделим это число на 2 и округлим к меньшему – получим число отрицательных отрезков. Так как число смен знака нечетно – отрезок от 99 до 121 будет отрицательным. Аналогично посчитаем остальные промежутки:
Ответ: 78.
Задача 6. В четырёхугольнике ABCD длины сторон BC и CD равны 2 и 6 соответственно. Точки пересечения медиан треугольников ABC, BCD и ACD образуют равносторонний треугольник. Какое наибольшее значение может принимать площадь четырёхугольника ABCD? Если необходимо, округлите ответ с точностью до 0,01.
Построим рисунок:
Назовем внутренний треугольник RSO. Обратим внимание на медианы, которые исходят из вершины А:
(AR/RM')=(AO/OM'') так как R и O – точки пересечения медиан. Значит треугольники ARO и AM''M' подобны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно RO и M'M'' параллельны. Но в то же время M'M'' – средняя линия треугольника BCD. Тогда RO параллельно BD.
Подобными рассуждениями показываем параллельность RS и AD, SO и AB:
Таким образом, мы получаем, что треугольники RSO и ABD подобны. Следовательно, треугольник ABD также является равносторонним.
Итак, нам нужно найти площадь четырехугольника, который состоит из двух треугольников, причем в одном мы знаем две стороны, а во втором все стороны равны:
Заметим, что площадь можно найти с помощью угла между двумя сторонами треугольника. И сторону BD можно найти с помощью двух сторон и угла... Выразим BD по теореме косинусов:
Найдем площади треугольников:
Площадь четырехугольника будет равна сумме площадей треугольников:
Напомню, что нам нужно найти максимальную площадь четырехугольника. Мы получили функцию площади, зависящую только от одного угла. Попробуем преобразовать эту функцию таким образом, чтобы можно было однозначно судить о максимальной площади:
Если мы выполним такие преобразования, то коэффициенты при синусе и косинусе будут являться косинусом и синусом 60 градусов соответственно. Воспользуемся этим:
Максимальная площадь у нас получится тогда, когда синус угла будет равен единице:
Ответ: 29,32.
Всем спасибо за внимание и удачи с этим вот всем :)
Обязательно посмотрите разбор задач 1, 2 и 3, 4.
Также ознакомьтесь с системой уравнений с олимпиады прошлых лет.
Если вам понравились задачи, то ставьте лайки и подписывайтесь на канал. Математики будет много!