Всем большой привет! Продолжаем разбор объединенной межвузовской математической олимпиады этого года. Сегодня задачи будут немного сложнее.
Задача 3. Число 20! = 1·2·. . .·20 = 2 432 902 008 176 640 000 имеет 41 040 натуральных делителей. Сколько среди них нечётных?
Напомню, что восклицательным знаком после числа обозначается факториал, а значит наше число может быть представлено в виде:
20! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 · 19 · 20
Четные числа в общем виде можно записать в виде 2n, а нечетные в виде 2n+1.
Произведение четных чисел будет равно:
а значит будет четным.
Произведение нечетных чисел будет равно:
а значит будет нечетным.
Произведение четного и нечетного числа будет равно:
а значит будет четным.
Таким образом, произведение любых нечетных делителей числа будет нечетным делителем числа.
Чтобы "выкинуть" все четные делители разложим на множители все числа:
20! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 · 19 · 20
20! = 1 · 2 · 3 · (2 · 2) · 5 · (2 · 3) · 7 · (2 · 2 · 2) · (3 · 3) · (2 · 5) · 11 · (2 · 2 · 3) · 13 · (2 · 7) · (3 · 5) · (2 · 2 · 2 · 2) · 17 · (2 · 3 · 3) · 19 · (2 · 2 · 5)
Итого у нас получается 1 единица, 18 двоек, 7 троек, 4 пятерки, 2 семерки, одиннадцать, тринадцать, семнадцать и девятнадцать:
Количество натуральных делителей числа, представленного в форме:
можно найти по формуле:
Так как нас не интересуют четные делители - откидываем двойку. Также откидываем единицу, так как при умножении на единицу новых делителей мы не получаем:
Ответ: 2160 делителей.
Задача 4. Пусть 2^x = (1 + tg 0,01◦) · (1 + tg 0,02◦) · (1 + tg 0,03◦) · . . . · (1 + tg 44,99◦). Найдите x. Если необходимо, округлите ответ с точностью до 0,01.
Итак, у нас есть какое-то количество множителей, имеющих схожую структуру. Сразу бросается в глаза, что если сложить углы, которые находятся внутри первого и последнего тангенсов, получится 45:
0,01 + 44,99 = 45◦
Такая же картина виднеется во втором и предпоследнем элементах (0,02 + 44,98) и так далее. Попробуем обобщить. Каждая такая пара будет иметь вид:
Воспользуемся формулой тангенса разности:
Тангенс 45 градусов как известно равен единице:
Итак, если мы будем брать поочередно множители из начала и из хвоста произведения и попарно перемножать, то будут получаться двойки. Осталось посчитать, сколько таких пар у нас будет.
Для простоты счета умножим аргумент тангенса на тысячу, тогда получится что у нас есть числа от 1 до 4499. Очевидно, что чисел будет 4499. Тогда пар будет:
Каждая пара нам дает двойку, соответственно мы имеем произведение из 2249 двоек и одного непарного множителя, находящегося ровно посередине:
Найдем тангенс 45/2 как тангенс половинного угла:
Тогда уравнение приобретает вид:
Ответ: 2249,5
Всем спасибо за внимание :)
Задачи 1,2 вы можете найти в предыдущей статье. А задачи 5, 6 - в следующей.
Также ознакомьтесь с системой уравнений с олимпиады прошлых лет.
Если вам понравились задачи, то ставьте лайки и подписывайтесь на канал. Математики будет много!