Содержание данной статьи раскрывает вопросы как и почему работает известное всем энергетикам преобразование Фурье. Здесь мы постарались воздержаться от использования сложного понятийного аппарата, все использованные выкладки должны быть понятны каждому, кто хоть как-то овладел начальным уровнем университетского курса высшей математики. Для всех остальных не исключено понимание изложенного материала на интуитивном уровне.
В настоящее время преобразование Фурье широко используется как основа различных инструментов анализа аварийных осциллограмм. Примеры его использования в современных программах просмотра осциллограмм:
- выделение действующего значения записанной электрической величины и её текущей фазы (рис. 1);
- получение спектра – рис. 2;
- построение векторной диаграммы (рис. 3);
- построение временных годографов комплексных замеров электрических величин (к примеру, сопротивлений) – рис. 4.
Таким образом, роль преобразования Фурье в анализе аварийных осциллограмм сложно переоценить. Далее перейдём к его сути.
- Преобразование Фурье – это некий линейный оператор (см. рис. 5), который преобразует входной сигнал u(t) во временной области (t – это время) в сигнал U(f) в частотной области (f – это частота).
- Предполагается, что входной сигнал u(t) состоит из набора (суммы) косинусоид следующего вида:
s(t) = A cos(2πft + φ0),
где f – частота; A – амплитуда; φ0 – начальная фаза.
Далее идёт очень важное утверждение. В соответствии с известной формулой Эйлера, функция cos определяется как сумма двух комплексных экспонент:
где j – мнимая единица,
Теперь можно внести уточнение: в общем случае преобразование Фурье предполагает, что входной сигнал u(t) состоит не из набора косинусоид, как это утверждалось чуть выше, а из набора комплексных экспонент.
Примечание: в преобразовании Фурье частота f – это частота комплексной экспоненты, а не косинусоиды.
Рассмотрим подробнее, из каких именно комплексных экспонент состоит косинусоида s(t). Первая экспонента e1(t) описывает на комплексной плоскости равномерное движение точки по окружности с радиусом A/2 с постоянной угловой скоростью ω = 2πf – см. рис. 6.
Вторая экспонента e2(t) – это сестра-близнец первой экспоненты e1(t), но в отличие от неё она описывает вращение точки по окружности в противоположную сторону – см. рис. 7. Также заметим, что графики e1(t) и e2(t) симметричны относительно действительной оси Re.
Итак, косинусоида с частотой f состоит из комплексной экспоненты с частотой f и комплексной экспоненты с частотой -f.
- Такие периодические функции как синусоида, косинусоида и комплексная экспонента обладают очень важным с точки зрения преобразования Фурье свойством: их среднее значение (и интеграл тоже) на периоде равен нулю. Иными словами, если взять комплексную экспоненту с частотой fx и усреднить её на периоде 1/fx, то в результате усреднения мы получим нулевое значение. Это правило справедливо практически для всех комплексных экспонент с любой частотой fx. Но в этом правиле есть одно исключение. Это экспонента с частотой f = 0 Гц, т.е. постоянная составляющая. В результате усреднения постоянной составляющей на любом интервале времени получается сама постоянная составляющая, т.е. она не обнуляется.
Посмотрим, как на рассмотренном правиле построено преобразование Фурье.
В качестве примера возьмём косинусоиду с частотой 50 Гц и амплитудой A. Мы знаем, что эта косинусоида состоит из двух комплексных экспонент с частотами -50 Гц и +50 Гц. Как эти составляющие расположены в области частот можно увидеть на рис. 8. Всего лишь два значения |U(f)| ненулевые – в точках -50 Гц и +50 Гц.
Если преобразование Фурье предназначено для преобразования сигнала во временной области u(t) в сигнал в частотной области U(f), то в случае косинусоиды u(t)=s(t) в качестве U(f) мы должны получить функцию, изображённую на рис. 8. Что такого можно сделать с s(t), чтобы на выходе получить |U(f)| как на рис. 8? Для простоты ограничимся не всей функцией |U(f)|, а только лишь одним её значением в точке f=50 Гц. В этой точке значение функции должно быть |U(50)|=A/2.
Итак, нам дана косинусоида s(t), заданное значение частоты f=50 Гц и информация о том, что при этой частоте должно выполняться равенство |U(50)|=A/2. Как нужно преобразовать s(t), чтобы на выходе преобразования было |U(50)|=A/2? Очевидно, что если просто усреднить косинусоиду s(t) на периоде 1/f=1/50=0,02 с, то на выходе мы получим ноль, т.е. |U(50)|=0. Поэтому просто усреднение на периоде не годится в качестве искомого преобразования. Попробуем другой вариант. Умножим s(t) на комплексную экспоненту с частотой -50 Гц:
В результате входящая в состав косинусоиды s(t) экспонента с частотой -50 Гц превратилась в экспоненту с частотой -100 Гц, а экспонента с частотой +50 Гц превратилась в комплексную экспоненту с частотой 0 Гц, т.е. в постоянную составляющую. Налицо смещение частот всех комплексных экспонент, входящих в состав входного сигнала, на значение -50 Гц. То, как после этого стали располагаться в области частот составляющие косинусоиды s(t) (теперь это сигнал s1(t)), показано на рис. 9.
Далее усредним полученный сигнал s1(t) на периоде 0,02 с. В результате усреднения входящая в состав s1(t) экспонента с частотой -100 Гц (A/2 ⋅ exp(-2jπ ⋅ 100t) обнуляется, т.к. интервал времени 0,02 с равен двум её собственным периодам. В то же время вторая экспонента с частотой 0 Гц, входящая в состав s1(t), не обнуляется, результат её усреднения равен A/2. Итак, усреднив сигнал s1(t) на интервале времени 0,02 с, получим
Получили то, что хотели, а именно |U(50)|=A/2.
Собственно, в рассмотренных двух процедурах и заключается преобразование Фурье:
1) смещение частот всех комплексных экспонент, входящих в состав входного сигнала u(t), на значение -fx для того, чтобы комплексная экспонента с частотой fx превратилась в постоянную составляющую, тем самым приобретя, так сказать, иммунитет к обнулению через усреднение.
2) усреднение сигнала со смещёнными частотами на интервале времени, кратном периодам всех комплексных экспонент, входящих в состав сигнала u(t), с целью их обнуления (всех экспонент, кроме той, что превратилась в постоянную составляющую).
В общем случае в состав входного сигнала u(t) входит неограниченное число комплексных экспонент со всевозможными частотами. В этом общем случае процедура 2) работает только на интервале усреднения от -∞ до +∞, поскольку только такой интервал времени кратен любому периоду любой комплексной экспоненты. Итак, получили формулу для преобразования Фурье:
Приведённое объяснение преобразования Фурье помогает образному восприятию его сути. Более глубокое понимание этого преобразования и его модификаций (дискретное преобразование Фурье, оконное преобразование Фурье, ряд Фурье, вейвлет-преобразование и т.д.) достигается через понятие свертки функций.