Всем привет! Сегодня мы разберем вторую из геометрических задач 10-го класса региональной олимпиады прошлого года. На мой взгляд она самая простая из всех, но все же требует некоторых привычек и навыков...
Напомню ее условие.
Простое наблюдение — все условия задачи и ее заключение в действительности касаются проекций точек на прямую AC. Давайте опустим перпендикуляры из точек O и B' на прямую AC. Пусть H' — проекция точки B', а K — проекция точки O. Точки B и B' диаметрально противоположны в окружности, следовательно H и H' симметричны относительно точки K. Точки M и N тоже симметричны относительно K.
А что же требуется доказать? Требуется проверить, что A и C симметричны относительно H', ведь именно это будет означать, что B'H' является серединным перпендикуляром к AC.
Задача стала полностью одномерной. Одномерную геометрию проще всего решать введя на прямой координаты (обычные числа). Будем считать, что обозначение точки это и есть соответствующее число. Тогда из условия верны соотношения
а сделанные нами наблюдения гарантируют равенства
Следовательно можно записать цепочку равенств
из которой заключаем, что
а это и означает, что H' — середина AC.