Про признак деления числа на 3

Наткнулся тут на статью, где автор описывал признак деления числа на 3 из школьной программы. Для тех, кто не помнит, признак заключается в том, что нужно сложить все цифры исходного числа, и, если сумма будет делится на 3, то и исходное число также будет кратно трем.

Статья вызвала много споров в комментариях, но я вдруг задумался над другим вопросом: почему мы можем сложить цифры числа и по ним что-то понять про кратность этого числа трем?

Тем, кому этот вопрос также интересен, читайте ход моих мыслей и комментируйте ;)

Итак, делимость некоторого числа А (пусть 1563) на 3 означает, что есть число целое Х, для которого А=Х*3. 

Теперь, давайте число А представим в виде:

А = а0+а1*10+а2*100+...,

где а0, а1, а2,... - цифры числа А. То есть,

1563=3+6*10+5*100+1*1000

Теперь заметим, что каждое из чисел 10,100,1000,... представимо в виде

(3*х+1),

где х - целое число. То есть

10=3*3+1

100=33*3+1

1000=333*3+1

А наше исходное число А (или 1563) будет выглядеть так:

1563=1(333*3+1)+5(33*3+1)+6(3*3+1)+3

Раскрывем скобки

1563=1*333*3+1*1 +

5*33*3+5*1+

6*3*3+6*1+

3

Ну и убираем из суммы члены с тройками (ибо они делятся нацело на три), у нас остается сумма цифр исходного числа. 

Надеюсь, кому-то это было интересно ;)