Ростислав Иванович Плят родился 30 ноября (13 декабря) 1908 года в Ростове-на-Дону. Его раннее увлечение театром привело к тому, что в 16 лет при получении паспорта он намеренно изменил свою фамилию и отчество на более благозвучные, более подходящие для афиш (как ему казалось), став Ростиславом Яновичем Пляттом[3].
Его отцом был известный ростовский адвокат Иван Иосифович Плят, по происхождению «поляк, правда сильно обрусевший», матерью — Зинаида Ивановна Закаменная, украинка родом из Полтавы, крестившая сына в православие[3]. К моменту появления Ростислава на свет она была уже больна туберкулезом лёгких, и семья переехала в Кисловодск, в более мягкий климат. В своих мемуарах Плятт писал:
Мне рассказывали, что у моей колыбели сходились две бабки — Жозефина Феликсовна, мать отца, и Александра Лукинична, мамина мать, — и начиналась тихая битва. Одна следила, чтобы дитя не усвоило ничего из хохлацкой речи, другая, наоборот, охраняла слух ребенка от всяческих полонизмов. Успеха добились обе: когда я вырос, выяснилось, что я не знаю ни одного языка, кроме русского.
В 1916 году мать умерла, и отец перевёлся в Москву. Через год он женился на Анне Николаевне Великовской, которая очень скоро заменила Ростиславу мать. У него также появился старший сводный брат. Адвокатская деятельность отца успешно развивалась; среди его клиентов были и работники театров. Так мальчик вошёл в театральную среду, стал ходить на спектакли, анализировать игру актёров, постановочные решения. Занимался в драмкружке: вначале под руководством Владимира Лебедева, затем — Варвары Соколовой-Залесской, артистки МХАТа, которая познакомила его с системой Станиславского[3].
В 1926 году окончил 20-ю опытную школу имени Томаса Эдисона. В том же году поступил в драматическую студию Моспрофобра под руководством Юрия Завадского, год спустя реорганизованную в Театр-студию, где играл до 1936 года. Затем вместе со всей труппой переехал в Ростов-на-Дону для работы в Театре драмы им. М. Горького. Плятт был признанным комедийным актёром, создавал образы с острым внешним рисунком и ярко подчеркнутой характерностью, но первый крупный успех на сцене имела роль Фон Ранкена в спектакле 1938 года «Дни нашей жизни» по пьесе Леонида Андреева. Эта роль обнаружила склонность актёра к углублённому, психологически тонкому раскрытию характера[4]. В 1938 году Плятт вернулся в Москву.
В 1938—1941 годах служил в Театре имени Ленинского комсомола. С 1939 года начал работать в кино. Одной из первых и самых ярких ролей стал холостяк в детской комедии «Подкидыш»[5]. В этом фильме он снимался вместе со своей многолетней партнёршей по сцене и близкой подругой Фаиной Раневской.
С началом войны Москву не покинул. Когда звучала «воздушная тревога», спешил на радиостудию, где тогда работал[3]. Однажды, попав под бомбёжку, чудом уцелел от разорвавшегося рядом снаряда, но на всю жизнь получил травму ноги. Постепенно оставшиеся в Москве актёры разных театров сплотились и создали Московский театр драмы, где ставили пьесы Константина Симонова. В этих военных фронтовых пьесах Плятт впервые проявил себя как мастер психологической игры[5].
В 1943 году он перешёл в Театр имени Моссовета, где прослужил до конца своих дней[6]. Творчество актёра отличали интеллектуализм, дар внутреннего перевоплощения, ироничность, глубокое обаяние[2]. Он создал много запоминающихся работ на радио, в том числе в передаче «Клуб знаменитых капитанов», которой посвятил 40 лет[7].