Настраивая свой контакт с аудиторией, купившей билеты на популярную лекцию по теории вероятностей, лектора рисуют на доске начало длинной случайной последовательности: «00100011011101010111001101101…» и спрашивают публику, каких фрагментов больше в такой последовательности: вида «111», или вида «101»? После коллективного обсуждения правил поиска фрагментов, договариваются, что сначала считают в последовательности число встреч фрагмента «111», а потом ищутся фрагменты «101» и считается уже их численность. Причём, договариваются искать по честному: последовательность просматривать от начала до конца, ничего в ней не пропускать, а всё что попало в найденный фрагмент второй раз не учитывать. После этого лектор очень быстро поддерживает мнение зала, что все комбинации совершенно равновероятны и, следовательно, число найденных комбинаций «111» при первом поиске в случайной последовательности будет равно, с точностью до случайной флуктуации, числу найденных комбинаций «101», при втором поиске в последовательности. Ну, вот, мы с вами и описали парадокс. Откройте в Википедии статью «Игра Пенни», ознакомьтесь с её правилами. Ознакомившись с результатами игры Пенни, вы теперь понимаете, в чём заключается парадокс. Он заключается в том, что тысячекратно экспериментально проверенная игра Пенни тысячи раз однозначно выдавала в экспериментах, что фрагменты «101» встречаются чаще, чем фрагменты «111», потому, что искомых фрагментов «101» в случайной последовательности больше, чем фрагментов «111», а лектора утверждают, что их численности одинаковы.
Лично когда я прочёл, что в игре Пенни одни комбинация всегда выигрывают в серии игр у других комбинаций - не поверил, посчитал, что какие то безграмотные пишут в Википедии ересь. И решил быстро всё сам проверить: написал поисковую программу, которая ищет и считает в случайной последовательности по оговорённым лектором правилам, сначала комбинации «101», а затем, комбинации «111». Отработав, поисковая программа выдала мне результаты, которые меня повергли в шок. Игра Пенни оказалась правдой! А умозаключения лекторов по теории вероятностей (о равной вероятности всех комбинаций и равных их количествах в последовательностях, с точностью до случайной флуктуации) оказались ложными.
Причём, мне не составило никакого труда найти связь между числом событий N в случайной бинарной последовательности и числами комбинаций «101» и «111» находимых в ней. Числа находимых комбинаций «101» будут группироваться вокруг величины N/10 . Числа находимых комбинаций «111» будут группироваться вокруг величины N/14. Так как N/10 > N/14, это значит, что число комбинаций «101» в 7/5 раз больше числа комбинаций «111» в случайной последовательности, которые ищутся описанным выше способом.
В таблице 1, я показываю численности комбинаций (экспериментально мной обнаруженные и теоретически рассчитанные) и расчётные формулы для них, по описанным выше правилам поиска, для случайных последовательностей.
Из этой таблицы следует, что разные серии имеют разную вероятность обнаружения. А в пределе, можно угадывать выпадение стороны монеты.
Литература.
Статьи автора можно найти в базах: https://elibrary.ru/defaultx.asp; https://istina.msu.ru/
1) Филатов О. В., статья «Расчёт численностей поисковых шаблонов в парадоксе Пенни», «Проблемы современной науки и образования», № 11 (41),2015 г. с.40–50.
2) Филатов О. В., статья «Фабрика парадоксальных комбинаторных эффектов - игра Пенни», журнал «Проблемы современной науки и образования / Problems of modern science and education», 2017 г. № 25 (107), с. 5-18; DOI: 10.20861/2304-2338-2017-107-001
Авторский сайт: http://kodpi.net/
Другие работы автора под псевдонимом: олегвладфилат.