Идея создания этого общества зародилась у студентов Высшей Нормальной школы, которая располагалась в Париже. Наряду с Сорбонной, она и по сей день считается одним из ведущих высших учебных заведений Франции.
Название для группы стала шутка одного из профессоров, который на лекции предложил студентам разгадать теорему Никола Бурбаки. Безусловно, никакой теоремы не существовало, впрочем, как и математика с такой фамилией.
Основной целью общества была работа над научными трактатами в сфере математики. При помощи математических формул, участники общества стремились объяснить все существующие жизненные процессы.
Существовали особые правила, которые распространялись на всех членов группы. В первую очередь, речь шла о возрасте. В группу Бурбаки входили только молодые математики, не старше 50 лет. Чтобы попасть в общество, требовалось получить рекомендацию одного из членов. Лишиться членства можно было даже за мелкие проступки.
Когда над одним из членов нависала перспектива вылета, ему предлагали решить сложную задачку. При помощи математических формул, ему описывали любое явление или предмет. Он должен был разгадать загадку. В случае ошибки, он немедленно лишался членства.
Первые публикации под псевдонимом Никола Бурбаки появились уже в 1939 году. В 60-е годы, наблюдался расцвет деятельности группы. Труды этой группы положили основу для многих математических школ.
К сожалению, с течением времени, роль математиков пошла на убыль. Среди членов общество наблюдались серьёзные противоречия, касающиеся дальнейшего развития общества. В результате, в прессе стали появляться сообщения о гибели талантливого математика Никола Бурбаки.
Последняя работа «общества» была опубликована в 2016 году. Считается, что группа работает и по сей день, сохраняя полную анонимность.