Полное условие задачи
Геостационарный спутник находится на высоте H над одной и той же точкой планеты массой M, вращающейся вокруг своей оси с угловой скоростью ω. Найти среднюю плотность вещества планеты ρ.
Краткое условие задачи
Решение задачи
Поскольку спутник является геостационарным, т. е. висит над одной и той же точкой планеты, то период его обращения вокруг планеты равен периоду вращения самой планеты, равны также их угловые скорости:
Между планетой и спутником действует сила всемирного тяготения:
Согласно второму закону Ньютона эта сила равна произведению массы спутника на его центростремительное ускорение:
Приравняем правые части выражений для силы тяготения:
Выразим центростремительное ускорение:
Свяжем центростремительное ускорение спутника с его угловой скоростью, учитывая при этом, что радиусом орбиты спутника является сумма радиуса планеты и его высоты над ней:
Приравняем правые части выражений для центростремительного ускорения:
Выразим радиус планеты:
Плотность планеты равна:
Объем планеты равен:
Тогда получаем:
Подставляем выражение для радиуса:
Что и требовалось найти.