Немецкий математик Дэвид Гилберт в начале прошлого века показал насколько сложно понять бесконечность. Он представил одну очень интересную задачку.
Я решила написать о ней.
Итак, поехали!
"Задача о бесконечном отеле"
Представьте отель с бесконечным количеством номеров и ночного администратора. Однажды ночью в гостинице не остаётся свободных комнат. И тут в гостиницу заходит человек и просит номер. Администратор решает не выгонять его, а дать ему комнату. Но что же делать, ведь они все заняты бесконечным количеством гостей!
К счастью решение находится быстро, и оно довольно простое.
Администратор идёт к постояльцу в номере 1 и просит его переехать в комнату номер 2. Жителя комнаты номер два в комнату номер 3. И так далее. В итоге комната для нового посетителя свободна! Все гости переезжают из номера n в номер n+1. А поскольку номеров в отеле бесконечное число, то для всех находится комната, а номер 1 освободится для нового клиента.
Этот алгоритм можно использовать для любого конечного числа гостей! К примеру если в отель приедут 58 гостей и каждому будет нужна комната (а гостиница будет заполнена полностью), тогда все нынешние постояльцы должны будут переехать в номер n+58. Таким образом они освободят первые 58 комнат, и все останутся довольны.
Но что делать если у гостиницы остановится бесконечно большой автобус с чётно бесконечным числом пассажиров?
Ключевое слово - "чётное". И для этого случая найдётся решение! Администратор просит постояльца из номера 1 переехать в номер 2, гостя из 2ого номера перейти в номер 4. Из номера 4 постоялец переходит в номер 6 и так далее. Получается, что все клиенты переезжают из номера n в номер 2n, заполняя бесконечное кол-во комнат с чётным номером. А это значит что получается освободить бесконечное кол-во нечётных номеров для новых гостей из бесконечного автобуса. А что будет если в гостиницу приедет бесконечное кол-во автобусов с бесконечным числом пассажиров?
К счастью примерно в 300ом году до нашей эры Евклид доказал что кол-во простых чисел бесконечно!
И для решения этой задачи администратору придётся переместить всех постояльцев в номер с первым простым числом 2, возведённым в степень равную их комнатам! Следовательно, тот кто сейчас занимает комнату под номером 9 переедет в комнату 2^9.
Вернёмся к пассажирам автобусов. Администратор распределяет пассажиров первого бесконечного автобуса таким образом: их номера соответствуют следующему простому числу 3, возведённому в степень равную номеру сидения в автобусе.
А это значит, что человек на сидении 7 в автобусе займёт номер 3^7 (3 в седьмой степени), т.е. в комнату 20187. Так происходит со всеми в первом автобусе.
Можно понять, что пассажиры второго автобуса занимают степени числа 5. И так далее. У всех этх чисел множителями могут быть только единица и простое число в степени с натуральным показателем. Поэтому номера комнат ни у кого не совпадают.
С помощью этого способа администратор может распределить всех пассажиров со всех автобусов!
Но, много комнат останутся не занятыми, например номер 6 (оно не является степенью какого-либо числа).