В сборниках для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ предлагают задачи на вероятность с таким сюжетом: несколько детей становятся в хоровод или рассаживаются за столом.
Интернет тут же откликнулся на предложение и выдаёт решения подобных задач в виде текстов и видео. Беда только в том, что решения эти неверные в том смысле, что хоть и приводят к верному ответу, но являются решениями совсем других задач, формируют неправильное представление о числе всех равновозможных случаев в эксперименте.
Начнём с простой задачи.
1. За круглый стол в случайном порядке рассаживаются два мальчика и две девочки. Определите вероятность того, что девочки не окажутся на соседних местах.
Пусть A и B — девочки, C и D — мальчики. Места за столом нумеруем по часовой стрелке, как на рисунке.
A могла занять любое из четырёх мест, в каждом из этих случаев вероятность того, что девочки не окажутся на соседних местах, одна и та же, поэтому искомая вероятность равна вероятности, найденной в одном из этих четырёх случаев. Переформулируем задачу так, чтобы ответ, полученный при её решении, дал ответ к задаче 1.
1.1. За круглый стол рассаживаются два мальчика и две девочки. Одна девочка заняла место. Определите вероятность того, что при дальнейшем рассаживании в случайном порядке девочки не окажутся на соседних местах.
Пусть A заняла место 1. B может оказаться на любом из трёх свободных мест — 2, 3, 4. В любом из этих случаев есть 2! = 2 способа рассаживания двух мальчиков на два места, поэтому число всех равновозможных случаев рассадки равно 3 ∙ 2 = 6. Они изображены на рисунке.
Из этих шести случаев событие «девочки не окажутся на соседних местах» произойдёт только тогда, когда B займёт место 3. Как только это произойдёт, у С и D останется 2! = 2 способа занять свободные места. То есть событию «девочки не окажутся на соседних местах» благоприятствуют 1 ∙ 2 = 2 случая.
Тогда искомая вероятность равна P = 2/6 = 1/3.
Заметим, что для задачи 1 число всех равновозможных случаев равно 6 ∙ 4 = 24, а число случаев, благоприятствующих событию «девочки не окажутся на соседних местах» равно 2 ∙ 4 = 8.
Число способов, которыми 2 мальчика займут 2 места одно и то же — как при подсчёте числа всех равновозможных случаев, так и при подсчёте числа случаев, благоприятствующих событию «девочки не окажутся на соседних местах». В более сложной задаче число случаев рассадки мальчиков можно не находить, обозначив его буквой, а при вычислении вероятности сократить дробь на это число. Но нельзя не упоминать его, если мы говорим про число всех равновозможных случаев.
А как решают подобные задачи в Интернете? Покажем на неверном решении нашей задачи.
Неверное решение. Пусть A заняла место 1. B может занять свободное место тремя способами — это и есть число всех равновозможных случаев (это число равно 6 в задаче 1.1 и 24 в задаче 1). Только в одном из них девочки не окажутся на соседних местах, т. е. число случаев, благоприятствующих событию «девочки не окажутся на соседних местах», равно 1 (это число равно 2 в задаче 1.1 и 8 в задаче 1). Поэтому искомая вероятность равна 1/3.
Получение верного ответа, не говорит о том, что решение задачи верное.
Давайте запишем правильное решение такой задачи.
2. За круглый стол в случайном порядке рассаживаются три мальчика и две девочки. Определите вероятность того, что девочки будут сидеть рядом.
Девочка A может занять любое из пяти мест, но в каждом из этих случаев вероятность события «девочки будут сидеть рядом» одна и та же, поэтому для решения задачи достаточно вычислить вероятность в одном из этих случаев.
Пусть A заняла место 1. B может оказаться на любом из четырёх свободных мест — 2, 3, 4, 5. В каждом из этих случаев есть k (k = 3!) способов рассадить трёх мальчиков на три свободных места, поэтому число всех равновозможных случаев рассадки равно 4k. Девочки будут сидеть рядом, если B займёт место 2 или 5 — 2 случая. В каждом из них есть k способов рассадить трёх мальчиков на три свободных места, т. е. число случаев, благоприятствующих событию «девочки будут сидеть рядом», равно 2k. Поэтому искомая вероятность равна 2k/4k = 0,5.
Если мы учим элементам теории вероятностей, то без обсуждения числа способов рассадить мальчиков решение задачи неверное. Если же нам важно получить балл за задачу и не важно, что выпускник не понимает, про что эта задача, то можно и дальше учить детей по кулинарной книге «Интернет» с набором готовых рецептов.
Остаётся актуальным вопрос: для чего элементы теории вероятностей включены в итоговую аттестацию? Надеюсь, что не для того, чтобы формировать у учащихся искажённые представления о ней.