Если непрерывная на интервале [a; b] функция f(x) имеет первообразную F(x), то определенный интеграл от этой функции в пределах от a до b можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница:
Но на практике часто бывает трудно подобрать первообразную для функции. В таких случаях прибегают к численному интегрированию, используя различные методы, наиболее распространенным из которых является метод трапеций.
В статье приведена технология численного вычисления определенного интеграла в Excel по методу трапеций по формуле Эйлера с уточнением.
В настоящей статье, также приведем технологию интегрирования по методу трапеций в Matlabe.
В Matlab для численного интегрирования по методу трапеций используются функции:
- trapz(x,y) - вычисляет площадь фигуры под графиком функции y(x), в котором все точки заданы векторами x и y;
- cumtrapz(x,y) - выполняет интегрирование по методу трапеций с накоплением, т.е. она вычисляет площадь фигуры под графиком функции у(х), но результатом ее работы является вектор, состоящий из промежуточных вычислений: S1 = 0; S2 = S1 + S2; S3 = S1 + S2 + S3; …, Sn = S1 + S2 + …+ Sn. Искомым значением в этом случае является последний элемент вектора.
Пример 1. Вычислить определенный интеграл
При решении установить количество разбиений отрезка [0:3] равным n=100.
Решение.
В командном окне Matlab введем инструкции (рис. 1)
>> % n=100
>> a=0; b=3; h=(b-a)/100;
>> x=a:h:b;
>> y=2*x;
>> S=trapz(x,y)
После выполнения инструкций получим результат
S = 9.0000, что соответствует результату, вычисленному аналитически.
Рассмотрим еще один пример.
Пример 2. Вычислить определенный интеграл с применением функции cumtrapz .
Предусмотреть количество отрезков разбиения т= 20.
Решение.
В командном окне Matlab введем инструкции (рис. 2)
>> a=0; b=pi/2; h=(b-a)/20;
>> x=a:h:b;
>> y=sin(x);
>> S=cumtrapz(x,y)
В результате выполнения инструкций будет выведен результат
S = Columns 1 through 6
0 0.0031 0.0123 0.0276 0.0489 0.0761
Columns 7 through 12
0.1089 0.1473 0.1909 0.2395 0.2927 0.3504
Columns 13 through 18
0.4120 0.4773 0.5457 0.6170 0.6906 0.7662
Columns 19 through 21
0.8431 0.9211 0.9995
Искомым результатом будет являться последний элемент вектора частичных сумм (выделен полужирным).