Два этих слова имеют право на существование, и каждое из них в определенном контексте будет верным. Осталось только выяснить, когда какое из них нужно употреблять.
Одышка означает неправильное дыхание – учащенное, сбивчивое – при заболеваниях сердца или дыхательной системы. Научный термин для данного понятия диспноэ (от греческого «dyspnoe», где Pnoe – дыхание, а dys –затруднение) означает затруднение в дыхании. А вот апноэ – это остановка дыхания.
Примеры употребления. Он поднимается по лестнице с сильной одышкой. После физической нагрузки его мучает постоянная одышка. Одним из симптомов болезни сердца является одышка.
Одышка и отдышка – это паронимы, то есть слова близкие по звучанию, но разные по смыслу.
Слова «отдышка» встречается гораздо реже и в словарях помечается как устаревшее.
Отдышка – это кратковременный отдых. Слово образовано от глагола «отдыхать». Сейчас более употребительные другие варианты: передышка, отдых.
Примеры употребления. После такой погони мне нужна небольшая отдышка. Туристам нужна отдышка для последнего рывка на вершину горы.
Вообще, с точки зрения этимологии, два этих слова имеют общее происхождение. Они образовались от глагола «отъдыхати» (отдыхать, отдохнуть), первоначально имеющего значение выжить, не задохнуться, восстановить нормальное дыхание. Уже достаточно рано в 11-17 веках глагол отдыхать приобрел значение отдыхать с помощью сна, отдыхать от трудов, восстанавливать силы. А в 18 веке все его значения были зафиксированы в словарях.
Интересно, что в современном русском языке глагол «отдыхать» приобрел новую коннотацию (значение). Например, по сравнению с Димой Биланом, Майкл Джексон отдыхает. То есть быть превзойденным по отношении к кому-либо.