Привет, друзья!
Не забудьте поставить "лукас", если было интересно!
Не, ну я всякое видел, но такое...
Как может выглядеть сумма всех натуральных чисел, коих бесконечно много? Думаю, очевидный ответ - бесконечность, но тут, оказывается, это совсем не так!
Чтобы Вы понимали, сумма всех натуральных чисел это:
Если Вы никогда с подобным не имели дело, то для Вас ответ, наверняка, будет типа: "Очень много" или "До***", но ответ, который вычислили математики, Вас сильно озадачит.
Итак, давайте попробуем вычислить эту сумму простым способом в не несколько шагов. Для этого, нам предварительно понадобятся три числовые суммы.
Первая - так называемый ряд Гранди. Вторая - ряд Эйлера.
Ну и собственно, интересующий нас ряд чисел:
Шаг 1
Чтобы вычислить сумму первого ряда, нам необходимо применить метод суммирования Чезаро. Что это значит?
Фактически, мы не знаем на каком числе остановится эта сумма. Если остановится на четном, то ответом будет - нуль, если на нечетном, то единица. Исходя из этого, нам необходимо взять некое среднее значение, поэтому, суммой этого ряда будет:
Этот ответ нам очень пригодится далее...
Шаг 2
Для начала, нам нужно сложить ряд S2 с самим собой:
Складываем ряды, с одной лишь маленькой поправкой - нижний ряд сдвигается на один шаг вправо.
Вы можете возразить мол, - "Что этот смертный себе позволяет?!". Но на самом деле, никакого криминала здесь нет. Чисел - бесконечное количество и сдвиг на один шаг никак не повлияет на сумму...
Осталось только сложить:
Заметили? Получается ряд S1, а так как его сумма известна, то:
Шаг 3
Вообще, есть несколько способов вычисления нужной нам суммы, в том числе и через Дзета-функцию, но я выбрал наиболее "простой", который сможет переварить рядовой читатель.
Итак, берем сумму S и вычитаем из нее S2. Делать так можно, потому как работаем с бесконечными рядами.
Получается своего рода ряд чисел, который имеет шаг 4, поэтому, 4 можно вынести за скобки.
Невооруженный взглядом видно, что в скобках получается наш ряд S.
Также, известна и S2, подставляем ее в уравнение:
Знаю, выглядит как полное безумие, но ответ - "минус одна двенадцатая"!
Самое интересное, что, как я и говорил, есть и другие способы вычисления этой суммы и они приводят нас к тому же ответу.
Еще более удивительно, что этот ответ находит своем применение в физике. Например, в теории струн:
Хотя, теория струн - то еще болото.
Надеюсь, было хоть немного интересно!
Публикация создавалась исключительно в информационно-развлекательных целях и не несет для рядового пользователя никакой практической пользы.
Такая вот она, математика, до безобразия парадоксальная!