Повторить или изучить:
1)Уравнения(линейные, квадратные)
2)Неравенства(с одной, двумя переменными; линейные, квадратные)
1)Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, - правой частью уравнения.
Линейные уравнения
Линейным называется такое уравнение, в котором неизвестное xнаходится в числителе уравнения и без показателей. Например: 2х–5=3
Линейные уравнения сводятся к виду ax=b, которое получается при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.
5(5+3х)−10х=8
Раскроем скобки.
25+15х−10х=8
Перенесем неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, а известные в правую. При переносе из одной части в другую, у слагаемого меняется знак на противоположный.
15х−10х=8−25
Приведем подобные слагаемые.
5х=−17 - это конечный результат преобразований.
После преобразований к виду ax=b, где, a=0, корень уравнения находим по формуле х=ba
х=−175
х=−3,4
Ответ: −3,4
Квадратные уравнения
Квадратное уравнение — уравнение вида ax2+bx+c=0, где a,b,c — некоторые числа a≠0, x — неизвестное. Перед тем как решать уравнение, необходимо раскрыть скобки и собрать все слагаемые в левой части уравнения.
Числа a,b,c называются коэффициентами квадратного уравнения.
- a - старший коэффициент;
- b - средний коэффициент;
- c - свободный член.
Если в квадратном уравнении коэффициенты b и c не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение 2x2–8x+3=0. Если один из коэффициентов b или c равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, 5x2–2x=0.
Решение неполных квадратных уравнений
Неполное квадратное уравнение имеет вид ax2+bx=0, если a≠0;c=0. В левой части этого уравнения есть общий множитель x.
1. Вынесем общий множитель x за скобки.
Мы получим x(ax+b)=0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем x=0или ax+b=0. Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:
x=0;ax+b=0
2. Решаем получившиеся уравнения каждое отдельно.
Мы получим x=0 и x=−ba. Следовательно, данное квадратное уравнение имеет два корня x=0 и x=−ba
4х2−5х=0
Вынесем х как общий множитель за скобки:
х(4х−5)=0
Приравняем каждый множитель к нулю и найдем корни уравнения.
x=0 или 4х−5=0
х1=0х2=1,25
Ответ: х1=0;х2=1,25
Неполное квадратное уравнение вида ax2+c=0,a≠0,b=0
Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим x2.
ax2+c=0
ax2=−c
x2=−ca
При решении последнего уравнения возможны два случая:
если −ca>0, то получаем два корня: x=±v−ca
если −ca<0, то уравнение во множестве действительных числе не имеет решений.
x2−16=0
x2=16
x=±4
Ответ: х1=4,х2=−4
Решение полного квадратного уравнения
Решение с помощью дискриминанта
Дискриминантом квадратного уравнения D называется выражение
b2—4ac.
При решении уравнения с помощью дискриминанта возможны три случая:
1. D>0. Тогда корни уравнения равны:
x1,2=−b±D2a
2. D=0. В данном случае решение даёт два двукратных корня:
x1=x2=−b2a
3. D<0. В этом случае уравнение не имеет корней.
3х2−11=−8х
Соберем все слагаемые в левую часть уравнения и расставим в порядке убывания степеней
3х2+8х−11=0
a=3,b=8,c=−11
D=b2−4ac=82−4·3·(−11)=196=142
x1=−b+D2a=−8+146=1
x2=−b−D2a=−8−146=−323
Ответ: x1=1,x2=−323
Устные способы
Если сумма коэффициентов равна нулю (а+b+c=0), то х1=1,х2=са
4х2+3х−7=0
4+3−7=0, следовательно х1=1,х2=−74
Ответ: х1=1,х2=−74
Если старший коэффициент в сумме со свободным равен среднему коэффициенту (a+c=b), то х1=−1,х2=−са
5х2+7х+2=0
5+2=7, следовательно, х1=−1,х2=−25
Ответ: х1=−1,х2=−25
2)При решении неравенств используют следующие правила:
1. любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, при этом знак неравенства не меняется.
2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства.
3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.
Пример:
решить неравенство −8x +11<−3x−4.
Решение
1. Перенесём член −3x в левую часть неравенства, а член 11 — в правую часть неравенства, при этом поменяем знаки на противоположные у −3x и у 11.
Тогда получим
−8x+3x<−4−11;−5x<−15.
2. Разделим обе части неравенства −5x<−15 на отрицательное число −5, при этом знак неравенства <, поменяется на >, т. е. мы перейдём к неравенству противоположного смысла.
Получим:
−5x<−15∣∣:(−5);
x>−15:(−5);
x>3.
x>3 — решение заданного неравенства.
