Найдите значения выражения.
Повторить или изучить:
1)сложение и вычитание : целых чисел, дробей
2)умножение и деление :целых чисел, степеней и дробей
3)возведение числа в степень(в положительную,отрицательную)
1)1.Примеры сложения и вычитания целых чисел:
пример 1 :
Рассмотрим простейшее выражение: 1 + 3. Значение данного выражения равно 4:
1 + 3 = 4
пример 2
Найдём значение выражения 1 − 3.
Значение данного выражения равно −2
1 − 3 = −2
пример3
Найти значение выражения −2 + 4
Значение данного выражения равно 2
−2 + 4 = 2
пример 4
Найти значение выражения −1 − 3
Значение данного выражения равно −4
−1 − 3 = −4
Пример 5. Найти значение выражения −2 + 2
Значение данного выражения равно 0
−2 + 2 = 0
1)2. АЛГОРИТМ
Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует:
- привести дроби к наименьшему общему знаменателю;
- сложить числители дробей, а знаменатель оставить без изменений;
- сократить полученную дробь;
- Если получилась неправильная дробь преобразовать неправильную дробь в смешанную.
пример 1:
пример 2:
приведем дроби к общему знаменателю методом «крест-накрест». Во втором будем искать НОК. Заметим, что 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последние множители в этих разложениях равны, а первые взаимно просты. Следовательно, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.
2)1.
Пример.
Выполните деление целого положительного числа 104 на целое положительное число 8.
Решение.
Делимое 104 в данном случае можно представить в виде суммы 80+24, после чего воспользоваться правилом суммы деления на данное чило.
Получаем 104:8=(80+24):8=80:8+24:8=10+3=13.
2)2.
Умножение степеней
Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.
Так, результат умножения a3 на b2 равен a3b2 или aaabb.
Первый множительx-33a6y2a2b3y2Второй множитель
am-2xa3b2yРезультатamx-3-6a6xy2a2b3y2a3b2y
Или:
x-3 ⋅ am = amx-3
3a6y2 ⋅ (-2x) = -6a6xy2
a2b3y2 ⋅ a3b2y = a2b3y2a3b2y
Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
Выражение примет вид: a5b5y3.
Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат - это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.
Так, a2.a3 = aa.aaa = aaaaa = a5.
Здесь 5 - это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.
Так, an.am = am+n.
Для an, a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;
И am, берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;
Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.
Так, a2.a6 = a2+6 = a8. И x3.x2.x = x3+2+1 = x6.
Первый множитель4anb2y3(b + h - y)n
Второй множитель2anb4y(b + h - y)
Результат8a2nb6y4(b + h - y)n+1
Или:
4an ⋅ 2an = 8a2n
b2y3 ⋅ b4y = b6y4
(b + h - y)n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y)n+1
Умножьте (x3 + x2y + xy2 + y3) ⋅ (x - y).
Ответ: x4 - y4.
Умножьте (x3 + x - 5) ⋅ (2x3 + x + 1).
Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых - отрицательные.
1. Так, a-2.a-3 = a-5. Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n.y-m = y-n-m.
3. a-n.am = am-n.
Если a + b умножаются на a - b, результат будет равен a2 - b2: то есть
Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.
Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат, результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртойстепени.
Так, (a - y).(a + y) = a2 - y2.
(a2 - y2)⋅(a2 + y2) = a4 - y4.
(a4 - y4)⋅(a4 + y4) = a8 - y8.
Деление степеней
Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.
Таким образом a3b2 делённое на b2, равно a3.
Делимое 9a3y4a2b + 3a2d⋅(a - h + y)3Делитель-3a3a2(a - h + y)3Результат-3y4b + 3d
Или:
9a3y4−3a3=−3y4−3a39a3y4=−3y4
a2b+3a2a2=a2(b+3)a2=b+3a2a2b+3a2=a2a2(b+3)=b+3
d⋅(a−h+y)3(a−h+y)3=d(a−h+y)3d⋅(a−h+y)3=d
Запись a5, делённого на a3, выглядит как a5a3a3a5. Но это равно a2. В ряде чисел
a+4, a+3, a+2, a+1, a0, a-1, a-2, a-3, a-4.
любое число может быть поделено на другое, а показатель степени будет равен разнице показателей делимых чисел.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются..
Так, y3:y2 = y3-2 = y1. То есть, yyyyy=yyyyyy=y.
И an+1:a = an+1-1 = an. То есть aana=anaaan=an.
Делимое y2m8an+m12(b + y)nДелительym4am3(b + y)3Результатym2an4(b +y)n-3
Или:
y2m : ym = ym
8an+m : 4am = 2an
12(b + y)n : 3(b + y)3 = 4(b +y)n-3
Правило также справедливо и для чисел с отрицательными значениями степеней.
Результат деления a-5 на a-3, равен a-2.
Также, 1aaaaa:1aaa=1aaaaa.aaa1=aaaaaaaa=1aaaaaaa1:aaa1=aaaaa1.1aaa=aaaaaaaa=aa1.
h2:h-1 = h2+1 = h3 или h2:1h=h2.h1=h3h2:h1=h2.1h=h3
Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.
2)3.
Чтобы разделить две дроби , надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую. Обозначение: Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель.
Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе — знаменателем.
Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.
3)
Что значит «возведение в степень»?
Начать следует с объяснения, что называют возведением в степень. Вот соответствующее определение.
Определение.
Возведение в степень – это нахождение значения степени числа.
Таким образом, нахождение значение степени числа a с показателем r и возведение числа a в степень r – это одно и то же. Например, если поставлена задача «вычислите значение степени (0,5)5», то ее можно переформулировать так: «Возведите число 0,5 в степень 5».
Теперь можно переходить непосредственно к правилам, по которым выполняется возведение в степень.
Выполните возведение числа −2 в четвертую степень.
Решение.
По определению степени числа с натуральным показателем имеем (−2)4=(−2)·(−2)·(−2)·(−2). Осталось лишь выполнить умножение целых чисел: (−2)·(−2)·(−2)·(−2)=16.