Всем привет. Узнав о Яндекс Дзене, решил создать первую статью на очень интересную тему как для математиков, так и для простых людей, кто просто понимает, о чём идёт речь. Итак, логарифм по основанию i от (-1) равен двум. Объясню: многие знают, что такое i. Это мнимая единица (квадратный корень из -1), квадрат которой равен -1. Это комплексное число, которые записываются в виде z = a + bi, где a, b - действительные числа. Итак, зная, что I^2 = (-1), мы можем представить себе логарифм, где i находится в основании, а -1 в аргументе. И ведь действительно, чтобы получить -1 мы должны i возвести во вторую степень. Подчеркну, что в данной статье я хочу отбросить ограничения на логарифм и просто заняться интересной математикой.
Итак, с теорией разобрались, переходим к самому интересному. Вообще, я задумался об этом после пары математики, когда нам нужно было представить 2 в виде логарифма, например log(2)4, ln(e^2) и т.д. Но так как это всё скучно, я вспомнил том, что квадрат мнимой единицы - это -1, поэтому, а что если взять подобный логарифм? И ведь правда, очень здорово получается, log(i)(-1) = 2, потому что I^2 = -1 (мы потенцировали выражение). В стандартном виде это записывается так:
log(a)b = c <=> a^c = b
Исходя из того, что у нас получается верное равенство логарифма (опять же, отбросив ограничения), мы можем пойти дальше и сделать нечто более интересное, а именно: взять логарифм по основанию i^2 от 1 (log(i^2)1). А теперь давайте посмотрим, мы знаем, что i^2 = -1, а (-1)^2 = 1, значит, данный логарифм также равен двум, но, зная свойства логарифмов, логарифм от единицы равен нулю (log(a)1 = 0), ведь любое число в нулевой степени - это 1. И что же нам делать? У нас есть логарифм от единицы с основанием i^2, но при этом (i^2)^2 = 1, как и (i^2)^0 = 1.
Но парадокс всего этого заключается не просто в том, что мы можем взять либо двойку, либо 0, суть в том, что на самом деле это не только 2 и 0, а ещё куча других степеней i. Если посмотреть степени мнимой единицы, то можно увидеть, что i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1 и так далее. То есть i^8 = 1. Таким образом мы можем до бесконечности брать степени i и получать 1, что нам и нужно? Проще, конечно же, просто взять степень 0 и не парится, ведь там не будет раздумий про то, что же выбрать. Но на самом деле, это очень интересный вопрос. Что же делать с логарифмом такого вида, если, опять же, отбросить все ограничения? Ведь не зря же были созданы комплексные числа. Можно долго ломать голову над тем, какую степень взять, да и вообще, стоит ли брать эту степень, ведь i в разных степенях даёт один и тот же результат, в отличие от единицы, которая даёт нам всегда единицу в любой степени. Но, как крутые математики, мы можем записать ответ в виде: {4, 8, 12, 16...}, то есть это будет диапазон чисел от 4 с шагом 4 соответственно. Также и для логарифма с аргументом -i и прочее
Такой же парадокс возникает с log(i^4)(i^16), это вообще log(1)(1). Здесь всё же стоит взять ограничение, которое гласит, что основание не должно быть равно 1, так как 1 в любой степени даёт нам 1, но всё же, если не переводить i^4 в 1, то получится просто 4, так как (i^4)^4 = i^16. Удивительно!)
Когда я искал подобную проблему в интернете, то не нашёл ничего, только комплексные логарифмы, которые выглядят сложнее, чем обычные. Я надеюсь, что вам понравилась данная статья. Пишите ваши комментарии по этому поводу. Как вы считаете, как правильно поступать?