Существует такая проблема, как проблема числа 10958. В целях демонстрации этой проблемы покажу математический фокус:
Возьмем любое трехзначное число и любую цифру. Например 567 и 6, число 567 через цифру 6 можно представить так:
567 = 666 × (6 − 6/6)/6 + 6 + 6
Попробуем еще раз, возьмем число 454 и цифру 7, тогда 467 можно выразить как:
454 = 7 × 777 + 7 × 7/7
И так можно проделать с любым трехзначным числом. Вы спросите: "А что на счет четырехзначных?". Бразильский математик Inder J. Taneja создал несколько работ про магию трехзначных и четырехзначных чисел. Его статья про представление трехзначных чисел через какую-либо цифру называется "Single Digit Representations of Natural Numbers" и находится в полном свободном доступе, что весьма странно для такого объема проделанной работы.
Рассмотрим другую его работу на примере. Возьмем четырехзначное число 1679, но на этот раз определенная цифра нам не нужна, мы воспользуемся ими всеми и представим это число как:
1679 = 98 × 7 + 6 × 54 × 3 + 21
или
1679 = 12 × 3 × 45 + 6 × 7 + 8 + 9
Здесь для того ,чтобы выразить любое целое число до 11111 используются все цифры, расставленные в порядке возрастания или убывания. Эта статья носит название "Crazy Sequential Representation: Numbers from 0 to 11111 in terms of Increasing and Decreasing Orders of 1 to 9".
Это огромная работа, включающая в себя уже не 55 страниц, как первая, а все 160. Ее вы также можете найти в свободном доступе.
Но существует проблема, которую даже Inder J. Taneja не смог решить. Если мы откроем его статью и найдем там число 10958, то увидим это:
10958 = still not available
"Пока недоступно". Inder J. Taneja не нашел способа разложить это число таким образом, но все проблемы решаемы и автор канала Numberphile в своем видеоролике предложил решение. Он осуществил это приемом "Конкатенация", склеиванием знаков вместе, как в примере, который я привел ранее:
1679 = 98 × 7 + 6 × 54 × 3 + 21
Число 98 и 54 были сконкатенированны из чисел 9, 8 и 5, 4 соответственно. Канкатенация обозначается либо параллельными прямыми "∥" , либо плюсом в кружочке "⊕". Значит:
98 = 9∥8, а
54 = 5⊕4
Соответственно число 1679 можно представить и таким образом:
1679 = 9∥8 × 7 + 6 × 5∥4 × 3 + 21
Представим число 10958, используя конкатенацию:
10958= 1 × 2∥3 + ((4 × 5 × 6)∥7 + 8) × 9
Давайте упростим и проверим:
1 × 2∥3 + ((4 × 5 × 6)∥7 + 8) × 9 = 23 +(120∥7 + 8) × 9 = 23 + (1207 + 8) × 9 =
= 23 + 1215 × 9 = 10958.
Вот оно, мы заполнили пробел. Вот таким вот образом можно решить проблему ,прибегнув к весьма непопулярному математическому приему.