Бесконечный ряд 1 − 1 + 1 − 1 + ... также имеет следующий вид и называется рядом Гранди:
Как и у любого арифметического выражения, у ряда Гранди должно быть решение. Однако в данном случае их три: 1, 0 и 1/2.
С 1 и 0 более менее понятно:
- Если представить 1 − 1 + 1 − 1 + … в виде (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) +…, то решением ряда будет 0 + 0 + 0 + … = 0.
- Если представить 1 − 1 + 1 − 1 + … в виде 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + …, то решением ряда будет 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.
Как же быть с 1/2?
Пусть S = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …, тогда:
1 − S = 1 − ( 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + … = S.
Отсюда 1 − S = S, следовательно:
S = 1/2.
Но как такое может быть?
Приведём в пример другой ряд чисел:
N = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 2 - 1/n.
1/n постепенно становится бесконечно малым числом и в конце концов ряд чисел N = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... становится равным 2.
Предположим, что N - это время, а значение чисел ряда - минуты. То есть, 1 минута + 1/2 минуты (или же 30 секунд) + 1/4 минуты (или же 15 секунд) и так далее в конце приведёт нас к конечным двум минутам.
Если в ряду S считать 1 за включённый выключатель света, а 0 - за выключенный, а за каждый шаг ряда N производить ход ряда S, то есть, включать и выключать свет, то за 2 минуты свет будет одновременно и включён и выключен.
Это можно сравнить с выключателем света, который многие мечтали установить в равном положении:
Но что же это значит?
Можешь посмотреть об этом на канале Numberphile.
Ъъ