В древнем Риме, существовал налог для поверженной стороны quartarius (четверть). Население было обязано принимать на постой солдат Римской армии и выделить четвертую часть жилища, обеспечить продуктами и фуражом в таком же размере.
В дальнейшем, после расширения Римской империи, эта повинность сохранилась, а жилье,предоставляемое солдатам, стало называться квартирами. Место, где располагался штаб, стало называться штаб-квартирой.
Это же значение слово сохранило в немецком и французском языках.
https://atriumrealty.ru/pochemu-kvartiru-tak-nazvali.html