Да, древний корень несомненно един. Если более подробно, то необходимо начать с того, что такие языки как английский, датский, исландский, шведский и некоторое число других относятся к германским.
Далее следует заметить, что все индоевропейские языки (включая английский и русский) делятся две группы, именуемые "кентум" и "сатем". К так называемой "сатем" группе относятся все те языки, которые при буквенной передачи числительного 100 используют звук "с" (как например, в русском сто), тогда как к "кентум" группе относятся все остальные.
Помимо этого следует учитывать также и то, что "кентум" группа в свою очередь также подразделяется на две подгруппы: первая подгруппа включает языки, которые при записи числительного 100 используют звук "k" (скажем греческое εκατό), в то время как вторая подгруппа содержит исключительно германские языки, использующие для аналогичных целей звук "h" (как в hundred, где -red это суффикс).
Резолюция:
И английское слово home и русское семья являются производными одного и того же корня *ḱey- / *tḱey-